第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。

系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？ （1）系统如图3.16所示：图3.16 系统模拟结构图解：由图可得：343432112332211x y dx x x cx x x x x cx x bx x u ax x =-=-+=++-=-=+-=∙∙∙∙状态空间表达式为：[]xy ux x x x d c b a x x x x 0100000110001100000043214321=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙由于∙2x 、∙3x 、∙4x 与u 无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。

由于y 只与3x 有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。

（3）系统如下式：x d c y ub a x x x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙00000012200010011321321 解：如状态方程与输出方程所示，A 为约旦标准形。

要使系统能控，控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有0,0≠≠b a 。

要使系统能观，则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有0,0≠≠d c 。

3-2时不变系统X y u X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∙111111113113试用两种方法判别其能控性和能观性。

解：方法一：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2-2-112-2-11AB B M 1111,1111,3113C B A系统不能控。

,21<=rankM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=44221111CA C N 系统能观。

,2=rankN方法二：将系统化为约旦标准形。

()420133113A I 212-=-==-+=+--+=-λλλλλλ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⇒=1-1P P P A 11P P P A 2222211111λλ则状态矢量：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121T 1- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=4-002-1-1113-113-21212121AT T 1- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0011111121212121B T 1- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=20021-1111-111CT B T -1中有全为零的行，系统不可控。

CT 中没有全为0的列，系统可观。

3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和[]11,11,01)1(21-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C b A αα 解：构造能控阵：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==21111ααAb bM 要使系统完全能控，则211αα≠+，即0121≠+-αα 构造能观阵：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21111CA C ααN 要使系统完全能观，则121αα-≠-，即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是182710)()(23++++=s s s as s u s y（1）当a 取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？ （2）当a 取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。

（3）当a 取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。

解：(1) 方法1 ：)6)(3)(1()()()(++++==s s s as s u s y s W 系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。

因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

方法2：6s 156-a 3631s 101-a )6)(3)(1()()(+++--+=++++=s a s s s as s u s y 631321-=-=-=λλλ，，X a a a y u X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=∙156631011116000301系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列。

因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。

（2）当a=1, a=3或a=6时，系统可化为能控标准I 型[] x01a y u 100x 102718100010 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x（3）根据对偶原理，当a=1, a=2或a=4时，系统的能观标准II 型为[] x 100y u 01a x 101027011800 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116...=+++ 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。

解：63611603210=====b a a a a ，，，， 系统的状态空间表达式为[] x 006y u 100x 611610001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x 传递函数为[]6116610061161001006A)-C(sI )(2311-+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--==-s s s s s s B s W 其对偶系统的状态空间表达式为：[] x100y u 006x 6101101600 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x 传递函数为61166)(23+--=s s s s W 3-9已知系统的传递函数为348622++++=s s s s )s (W试求其能控标准型和能观标准型。

解：345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W系统的能控标准I 型为[]u x 25y u 10x 4-3-10 +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 能观标准II 型为[]ux 10y u 25x 4-13-0 +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x 3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

[] x 100y u 210x 311032010 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=x 解：[]100210311032010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，， []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==11527213102b A Ab bM 。

不能变换为能控标准型，系统为不能控系统，32<=rankM⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9713111002CA CA C N 以变换为能观标准型。

，系统为能观系统，可3=rankN3-11试将下列系统按能控性进行分解（1）[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab bM rankM=2<3，系统不是完全能控的。

构造奇异变换阵c R ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==010*********R Ab R b R ，，，其中3R 是任意的，只要满足c R 满秩。

即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c R ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-1002412301c c AR R A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-0011b R b c []121-==c cR c 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解（1） []111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112CA CA C N rank N=2<3，该系统不能观构造非奇异变换矩阵10R -，有10111232001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则0311210001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦11000010123027321x R AR x R bu x u --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]0100y cR xx == 3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解（1）[]211,221,102322001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A解：由已知得211121226202M A Ab Ab ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦rank M=3，则系统能控21121257411c N c A cA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ rank N=3，则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取211121226202c T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则1217344173215344c T -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则002105014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，12100c B T b -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]271323c c cT ==3-14求下列传递函数阵的最小实现。

（1） ()111111w s s ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦解： 01α=，01111B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1001c A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1001c B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1111c C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，0000c D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 系统能控不能观取101101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则01101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 所以10010ˆ01A R AR --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦，1011ˆ01c B R B -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 010ˆ10c C C R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，00ˆ00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以最小实现为ˆ1m A =，[]ˆ11m B =，1ˆ1m C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，00ˆ00m D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 验证：()()1111ˆˆˆ111m mm C sI A B w s s -⎡⎤-==⎢⎥+⎣⎦3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统[]1121210431022221111==-=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑C b A C b A ，，：，，： （1）试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数； （2）试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。