《第四章 向量空间》 自测题 （75分钟）
一、选择、填空（20分，每小题4分）
1. 下列向量集合按向量的加法和数乘运算构成R 上一个向量空间的是（ ）。
（A ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，分量是整数的所有向量；
（C ）R n 中，分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；
（D ）R n 中，分量满足x 1=1，x 2，…，x n 可取任意实数的所有向量。
2．设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令
414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=，
则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ，它的一组基为 。
3. 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=-- 的维数为 ， 它的一组基为 。
4. 设W 是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间，即⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a a
a a W ij 2212
1211，则它的维数为 ，一组基为 。
5．若A=⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021
021b a 为正交矩阵，且|A|=－1，则a = ，b = 。
二、计算题（60分） 1.（15分）设R 3的两组基为：
T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ，
向量α=（2，3，3）T
（1）求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。
（2）求α关于这两组基的坐标。
（3）将321,,βββ化为一组标准正交基。
2. （15分）在R 4 中，求下述齐次线性方程组的解空间的维数和基，
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-+=-+-=+-+0
1113530333045234321
43214321x x x x x x x x x x x x 3．（20分）已知321,,ααα是3维向量空间R 3的一组基，向量组321,,βββ满足
3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+
（1）证明：321,,βββ是一组基。
（2）求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。
（3）求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。
4．（10分）已知A 是2k+1阶正交矩阵，且|A|=1，求|A －E|。
三、证明题（20分）
1. （5分）设0321=++γβαk k k ，且031≠k k 。
证明：),(),(γββαL L =。
2. （5分）设A 为正交矩阵，证明：A *为正交矩阵。
3．（10分）设A 、B 为n 阶正交矩阵，且|A||B|。
证明：A+B 为不可逆矩阵。
参考答案
一、选择、填空 1． A
2． dimW=3，一组基为.,,321βββ
3． dimW=n-2，一组基为T n T T )0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(221 ==-=-ααα
4． dimW ＝3，一组基为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,1000,0001。
5． a =
2
1
，b =
2
1
二、计算题
1．(1)基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121
(2) α关于321,,ααα的坐标是（0，1，1）
α关于321,,βββ的坐标是（1，1，2） （3）⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-
-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛02121,626161,313131。
2．解空间的维数是2，一组基为T T )1,0,3
7,92(,)0,1,38
,91(21-=-=αα。
3．（1）提示：证明321,,βββ与321,,ααα等价，从而r(321,,βββ)=3，线性无关。
（2）基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001211010。
（3）向量α关于基321,,βββ的坐标为(2，-5，1)。
4． ()
()0)1(121=-⇒--=--=--=-=-=-+-E A E A E A E A A E A E A E A T
k T T 。
三、证明题
1. 提示：证明两个向量组等价，即},{},{γββα≅，则生成子空间),(),(γββαL L =。
2. 证明： ()
()
E AA A A A A A A A A A T T
T
T ====----1
12
1
1*)(*。
3．提示：0111=+⇒+-=+=+=+---B A B A B A B A B A E A B A
.。