2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
则利润随机变量为
aX cY b( X Y ) (b d )(n X Y )
Z
aX
c(n
X ) bn
X n且X Y n X n且X Y n
an bn
X n
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售
量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
因为 0
p
r
dr
1，所以
n
ab
p r dr
0
ac
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n
在图中用 P1, P2 分别表示曲线 pr
下的两块面积，则
pr
P1 a b
P2 b c
P1 P2
O
n
r
其中P1
n p
0
因为当购进 n
r dr , P2
n
份报纸时，P1
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？ 此时要用边际分析法处理。
某商家经营某种商品，零售价a元，购进价b元，退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(r k) pk ，试确定商家的最佳订货量。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为
模型分析：
购进量由需求量确定，需求量是随机变量。假定报童已 经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的统计规律性，
即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是
f r r 0,1,2,
有了f r和 a, b, c 。就可以建立关于购进量的优化模型。
模型建立：
假设每天购进量是n份，需求量 r 是随机变量，r可以 大于n，可以等于n，也可以小于n。所以报童每天 的收入也是随机变量。那么，作为优化模型的目标 函数不能取每天的收入，而应该取长期卖报的日平 均收入，即报童每天收入的期望值。
P(r n 1) ，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为
f
(r,
n)
(a
(a b)r
b)n (b
c)(n
r)
0nr 0 r n 1
所以 E(n) E（f (r, n)）
n1
=(a b)k (b c)(n k) pk (a b)npk
k 0
k n
设进货量为n时，期望收益E(n)最大，则应有不等式
记报童每天购进n份报纸的平均收入为Gn，如果这天的需
求量 r n ，则售出 r份，退回 n r 份，此时报童的收入
为 a b r b cn r ；如果需求量r n
则n份将全部售出，没有退回。此时报童的收入为 a b n
故利润随机变量
Y
(a b)r (a b)n
(b
c)(n
p
r dr.
n pr 0
dr
是需求量
r
不超过
n 的概率，即卖不完的概率；P2
p r dr 是需求量 r
n
超过 n 的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份
数 n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份
赚的钱 a b 与退回一份赔的钱b c 之比。
结论：
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时, 报童购进的份数就应该越多。且现实生活中，订购服装销售问 题可以类似解决。但如果遇到打折销售时，要作一定的改变。
r)
rn rn
根据已知需求量 r 的分布规律 f(r)，得平均收入为
n
G n E(Y ) a br b cn r f r a bnf r
r0
r n 1
问题归结为在 f(r),a,b,c已知时，求n 使G (n)最大。
模型求解：
通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，故可以将 r 视为 连续型随机变量，以便于分析和计算，此时需求量 r 的分布规律 f(r)转化为概率密度 p(r)来处理,则G (n)变为
E(n) E(n 1) (a b)(1 qn1) (b c)qn1 0
结论：
qn1
a a
b c
qn
上式就是最佳进货量 n 应该满足的不等式
如：某衣服零售商每个季度从批发商处购进一批衣服销售，设 每件衣服购进价b元，零售价a元，每个季末，如有未售完衣服， 零售商将以c元打折销售，而折价销售后还有剩余的衣服，将由 批发商以d元价格回收，试确定零售商的订货量使获利最大。
分析：若订购量n件，则当
1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 Y n X时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 Y n X时，售出n-X份，没有退回。
报童的诀窍
问题描述： 报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖
掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖
不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。而市场对 报纸的需求量是一个随机变量。试为报童筹划一下每 天购进报纸的数量，以获得最大收入。
k 0
k n1
n 1
E(n) E(n 1) (a b) pk (b c) pk 0
k n
k 0
n
ห้องสมุดไป่ตู้
若记 qn P(r n) pk , 则1 qn
pk ；
k 0
k n1
所以
n1
qn1 P(r n 1) pk , 而1 qn1 pk
k 0
k n
E(n) E(n 1) (b c)qn (a b)(1 qn ) 0
E(n) ≥ E(n+1)且E(n) ≥ E(n－1)
而
n
E(n 1)=(a b)k (b c)(n 1 k) pk
k 0
(a b)(n 1) pk k n1
n2
E(n 1)=(a b)k (b c)(n 1 k) pk k 0
(a b)(n 1) pk k n1
所以
n
E(n) E(n 1) (b c) pk (a b) pk 0
Gn
n
0
a
br
b
c
n
r
pr
dr
n
a
bnpr
dr
接下来只需要对G (n)关于n求导后找G(n)的最大点
计算
dG dn
a
bnpn
n
0
b
c
pr
dr
a
b
np
n
n
a
b
p
r
dr
b
c
n
0
p
r
dr
a
b
n
p
r
dr
令 dG 0，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。