k 0 n

n2 k 0
k n 1
(a b)(n 1) p


k
E (n 1)= (a b)k (b c)(n 1 k ) pk
k n 1
(a b)(n 1) p
k
所以
E (n) E (n 1) (b c) pk (a b)
rn rn
根据已知需求量 r 的分布规律 f(r)，得平均收入为
G n E (Y ) a b r b c n r f r
r 0 n r n 1
a b nf r

问题归结为在 f(r),a,b,c已知时，求n 使G (n)最大。
报童的诀窍
模型分析：
购进量由需求量确定，需求量是随机变量。假定报童已 经通过自己的经验或其他渠道掌握了需求量的统计规律性， 即在他的销售范围内每天报纸的需求量为 r份的概率是 f r r 0,1,2,
有了f r和
a, b, c 。就可以建立关于购进量的优化模型。
模型建立：
r 假设每天购进量是n份，需求量 r 是随机变量，可以 大于n，可以等于n，也可以小于n。所以报童每天 的收入也是随机变量。那么，作为优化模型的目标 函数不能取每天的收入，而应该取长期卖报的日平 均收入，即报童每天收入的期望值。
所以 E (n) E f (r , n)） （
= (a b)k (b c)(n k ) pk (a b)npk
k 0 k n
n 1

设进货量为n时，期望收益E(n)最大，则应有不等式 E(n) ≥ E(n+1)且E(n) ≥ E(n－1)
而
E (n 1)= (a b)k (b c)(n 1 k ) pk
以上是采用连续型随机变量方式进行处理的，但有时在离散 随机变量下该如何处理呢？ 此时要用边际分析法处理。
某商家经营某种商品，零售价a元，购进价b元，退回价 c元，而一个经营周期的销售量 r 是一个离散型随机变量， 其分布列为 P(r k ) pk ，试确定商家的最佳订货量。
分析与求解：设每次订购n件，其获得利润的期望为E(n)， 若他多订购一件商品，则这件商品能卖出去的概率为 P(r n 1) ，卖不出去的概率为P(r n) ，而商家每天获利 的利润函数为 (a b)n 0nr f (r , n) (a b)r (b c)(n r ) 0 r n 1
MaxE (n)=(a c) k pk n (a b)(1 qn ) (b c)qn
练习：
k 0
1、若每份报纸的购进价为0.75元，售出价为1元，退回价 为0.6元，需求量服从均值500份，均方差50份的正态分布， 报童每天应购进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收 入是多少？ 2、若报童每天售出一份报纸获利0.3元，但如果卖不出去 退回邮局每份报纸损失0.1元，假设该地区范围报纸每天 需求量为1,2,3,…,100份的概率都为0.01，则报童每天购 进多少份报纸才能使平均收入最高，最高收入是多少？
n

超过 n 的概率，即卖完的概率，所以上式表明，购进的份 数 n 应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份 赚的钱
a b 与退回一份赔的钱b c
之比。
结论：
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时, 报童购进的份数就应该越多。且现实生活中，订购服装销售问 题可以类似解决。但如果遇到打折销售时，要作一定的改变。 如：某衣服零售商每个季度从批发商处购进一批衣服销售，设 每件衣服购进价b元，零售价a元，每个季末，如有未售完衣服， 零售商将以c元打折销售，而折价销售后还有剩余的衣服，将由 批发商以d元价格回收，试确定零售商的订货量使获利最大。 分析：若订购量n件，则当 1、销售量 X n 时，正规售出X份，余下n-X份， ①打折售出量 Y n X 时，售出Y份，退回n-X-Y份； ②打折售出量 Y n X 时，售出n-X份，没有退回。 2、销售量X n时，正规售出n份，没有剩余衣服。
则利润随机变量为
aX cY b( X Y ) (b d )(n X Y ) X n且X Y n Z X n且X Y n aX c (n X ) bn an bn X n
现在只需要弄清楚销售量X（随机变量）和打折销售 量Y （随机变量）的联合概率密度就可以进行处理。
记报童每天购进n份报纸的平均收入为 G n ，如果这天的需 求量 r n ，则售出 r份，退回 n r 份，此时报童的收入 为 a b r b c n r ； 如果需求量 r n
则n份将全部售出，没有退回。此时报童的收入为 a b n
(a b)r (b c)(n r ) 故利润随机变量 Y (a b)n
3、某水果店以每千克1.6元的价格购进每筐重100千克的香 蕉，当天以每千克2.4元的价格出售，当天销售余下的香蕉 再以平均每千克1.2元的处理价出售，以筐为单位的需求情 况由下表列出：
2 3 4 5 6 7 需求（箱） 1 0.10 0.15 0.25 0.25 0.15 0.07 0.03 概率 试问水果店每天进多少筐香蕉，可获利最大？ 4、设顾客对某种食品每天需求量服从均值为 5 的泊松分 布，而商店每售出一件食品获利 4元，若当天卖不掉则亏 损2.5元。问商店每天应进货多少？

接下来只需要对G (n)关于n求导后找G(n)的最大点
计算
n dG a b np n b c pr dr 0 dn
a b np n
n 0
n
a b p r dr
n
b c p r dr a b p r dr
模型求解：
通常需求量 r 和购进量 n 都相当大，故可以将 r 视为 连续型随机变量，以便于分析和计算，此时需求量 r 的分布规律 f(r)转化为概率密度 p(r)来处理,则G (n)变为
Gn
n
0
a br b cn r pr dr n a bnpr dr
所以
k 0
k n
E(n) E(n 1) (b c)qn (a b)(1 qn ) 0
E(n) E(n 1) (a b)(1 qn1 ) (b c)qn1 0
结论：
a b qn 1 qn ac
n
上式就是最佳进货量 n 应该满足的不等式 此时期望收益的最大值为：
P a b 1 P2 b c
n 0 n
n
P 1
P 2
n r
O
P 因为当购进 n 份报纸时，1 0 p r dr 是需求量 r 不超过
其中P p r dr , P2 p r dr. 1
P n 的概率，即卖不完的概率； 2 p r dr 是需求量 r
dG 令 0 ，得到 dn
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。 因为0 p r dr 1 ，所以
pr dr a b p r dr b c
n 0 n

n
0
a b p r dr ac
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n 在图中用 P1 , P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则 pr
问题描述： 报童每天清晨从社购进报纸零售，晚上将没有卖 掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为 a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出一份报纸赚 a-b，退回一份赔b-c。报童每天购进报纸太多，卖 不完会赔钱；购进太少，不够卖会少挣钱。而市场对 报纸的需求量是一个随机变量。试为报童筹划一下每 天购进报纸的数量，以获得最大收入。
k 0 n k n 1 n 1


pk 0
E (n) E (n 1) (a b) pk (b c) pk 0
k n
n
k 0
若记 qn P(r n) pk , 则 1 qn
k 0 n 1
k n 1


pk ；
qn 1 P(r n 1) pk , 而 1 qn 1 pk