b
有
∑u i
k =1
k k
=0
(2) 证明: 证明:
§27 特勒根定理
b
∑u i
k =1
k k
=0
令v4=0 支路电压用节 点电压表示 u1= - v1 u2= - v2
k =1
∑ uk ik = u1i1 + u2i2 + u3i3 + u4i4 + u5i5 + u6i6
=-v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v-v2 )i4 +(v2-v )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 3 1
6
=v1(i1 +i4 i6) +v2(i2 i4 +i5) +v3(i3 i5 +i6 =0 )
§27 特勒根定理
将这一结论推广到任一具有n个节点, 条支路的 将这一结论推广到任一具有 个节点,b条支路的 个节点 b 电路, 电路,则有 这就是特勒根功率定理(Tellegen′s power theorem) ′ 这就是特勒根功率定理 的数学表达式.该定理表明, 的数学表达式.该定理表明,在任意集中参数电 路中, 在任何瞬时t, 路中 , 在任何瞬时 t , 各支路吸收功率之和恒等 于零.也就是说, 于零.也就是说,电路中各独立源供给功率的总 等于其余各支路吸收功率的总和. 和,等于其余各支路吸收功率的总和 条支路在t时刻吸收的功率 (3)物理意义 uk (t)ik (t) = 第k条支路在 时刻吸收的功率 )物理意义: 条支路在 表整个电路在t时刻各支路吸收功率之和守恒( 表整个电路在 时刻各支路吸收功率之和守恒(为 时刻各支路吸收功率之和守恒 又叫瞬时功率守恒定理. 瞬时功率守恒定理 零), 所以 又叫瞬时功率守恒定理.
= v1(i1 + i4 i6 ) + v2 (i2 i4 + i5 ) +ν3(i3 i5 + i6 ) = 0
§27 特勒根定理
将以上结论推广到任意两个具有n个节点, 条支路 将以上结论推广到任意两个具有 个节点,b条支路 个节点 的电路N和 当它们所含二端元件的性质各异, 的电路 和 N ,当它们所含二端元件的性质各异, 但有向图完全相同时, 但有向图完全相同时,则有
k =3
u ab iab + u cd icd + ∑ u k ik = 0
k =3
b+2
a
4A
N
c +
3A
a N
c
u ab
+ 8v
b
b+ 2
d
-b
-
d
u ab iab + ucd icd + ∑ u k ik = 0
k =3
uk ik = ik Rk ik = ik uk
即∑ uk ik = ∑ uk ik
+
-
§27 特勒根定理
4,从电路模型中抽象出拓朴图后,不会影响建立 ,从电路模型中抽象出拓朴图后, KVL,KCL方程. 方程. , 方程 四,特勒根定理:(一个二端元件为一支路) ,特勒根定理: 一个二端元件为一支路) 1,特勒根功率定理 , (1) 内容:教材P59(第12~15行) 内容:教材 ( 行 设电路有b条支路 条支路, 设电路有 条支路,ub,ib 为一致参考方向
§27 特勒根定理
(4) 证明
设网络N和N具有相同的有向图
令v4=0, , 支路电压用节点电压表示
6
∑
k =1
u k ik = u1i1 +u 2 i2 + u 3 i3 + u 4 i4 + u 5 i5 + u 6 i6
= -v1i1 +(-v )i2 +(-v )i3 +(v -v2 )i4 +(v2-v3 )i5 +(v3-v )i6 2 3 1 1
k =3 k =3 b+ 2 b+ 2
u ab iab + u cd icd + ∑ u k ik = 0
k =3
b+2
∴uabiab + ucd icd = uabiab + ucd icd
uab × 0 + 0 × icd = uab (4) + 8 × 3
8× 3 uab = = 6v 4
1
§27 特勒根定理
2 特勒根似功率定理 (2) 内容:教材 内容:教材P60(第9~17行) ( 行
二网络具有相同的有向图, 设 N和N 二网络具有相同的有向图,支路电 压电流为一致的参考方向, 条支路, 压电流为一致的参考方向,有b条支路, 中 条支路 N 电压电流加" . 电压电流加"^". b b ∑ uk ik = 0 ∑ u k ik = 0 有
k =1 k =1
(3)物理意义: )物理意义:
所以无物理意义, 似功率( 积 , 所以无物理意义 , 叫 似功率 ( 因为具有 功率的计算形式和量纲). 功率的计算形式和量纲) b 表似功率守恒,所以叫似功率守恒 似功率守恒定理 ukik = 0 表似功率守恒,所以叫似功率守恒定理 ∑
k=1
(uk ik ) (uk ik ) 不是同一元件上的电压电流的乘
§27 特勒根定理
特勒根定理 特勒根定理(Tellegen′s theorem)是在基尔霍夫定 ′ 是在基尔霍夫定 律的基础上发展起来的一条重要的网络定理. 律的基础上发展起来的一条重要的网络定理.与 基尔霍夫定律一样, 基尔霍夫定律一样,特勒根定理与电路元件的性 质无关,适用于任何集中参数电路. 质无关,适用于任何集中参数电路. 特勒根定理有两条: 特勒根定理有两条: (1)特勒根功率定理 ) (2)特勒根似功率定理 ) 一,运用范围: 任意集中参数电路. 运用范围: 二,用途: (1)用于系统的稳定性分析 用途: ) (2)用来证明其它网络定理 )
例
(a) 4A
a
N
c
3A
b (b) +
a N
d
c
N是由 个线性电阻 是由b个线性电阻 是由 组成的电路, 组成的电路,(a),(b) 图所示电路具有相 同的有向拓扑图 求:(b)中 u ab 中
b+2u ab+-b
由特勒根似功 解: 由特勒根似功 率定理有
-
8v
d
u ab iab + u cd icd + ∑ u k ik = 0
§27 特勒根定理
三,电路的图(graph——拓朴图 拓朴图) 拓朴图 与电路图(circuit diagram)不同 与电路图 不同 1,电路模型:既包含了元件性质. ,电路模型: 又包含了其几何结构. 又包含了其几何结构. 2,电路的图:去掉其元件性质,由电路的联接关系 ,电路的图:去掉其元件性质, 得到的点和线的集合. 得到的点和线的集合 又叫线形图(linear graph) 又叫线形图 只要联接形式同就叫同一个图 G中,每一线段仍叫支路 中 每一线段两端仍叫节点 3,有向图 (oriented graph, digraph) ,
k =1
∑ uk ik
=0
2 特勒根似功率定理 (1) 具有相同有向拓扑图的电路 具有相同有向拓扑图的电路 相同有向拓扑图
R4 2 R5 R3 4 R4 2 R6 1 R2 3 R3 + us1 – 4 1 2 3 6 3 4 R5 us6 1
+
N
-
is2 3 R1
N
2 5 4
两个电路中, 两个电路中,支路数和节点数 都相同, 都相同,对应支路与节点的联 接关系也相同. 接关系也相同. 联合参考方向相同 对应支路的联合参考方向 对应支路的联合参考方向相同
特勒根定理用来求解电路甚少, 特勒根定理用来求解电路甚少,其另一用途是用来证明 其它定理.(如互易定理) .(如互易定理 其它定理.(如互易定理)
�
k =1
∑ u k i$k
b
=0
b k =1
$ ∑ uk ik
=0
这就是特勒根似功率定理(Tellegen′s quasi-power ′ 这就是特勒根似功率定理 theorem)的数学表达式.该定理表明,在有向图相 的数学表达式. 的数学表达式 该定理表明, 的任意两个集中参数电路中,在任何瞬时t, 同的任意两个集中参数电路中,在任何瞬时 ,任 一电路的支路电压与另一电路相应的支路电流的乘 积之和恒等于零. 积之和恒等于零. $ 该定理要求u(或 u 或 应分别满足 应分别满足KVL和KCL, 该定理要求 或 )和i(或 )应分别满足 和 和 , $ i 且电压电流方向一致,这是值得注意的. 且电压电流方向一致,这是值得注意的.
§27 特勒根定理
五,讨论 1.特勒根定理与元件性质无关 . 2.特勒根定理只要求 k,ik在数学上受到一定的约束 .特勒根定理只要求u 的约束) ( KVL, KCL的约束 ) , 而并不要求它们代表某一 , 的约束 物理量, 物理量,所以特勒根定理不仅适用于同一网络的同一 时刻,也适用于不同时刻,不同的网络( 时刻,也适用于不同时刻,不同的网络(但要求具有 相同有向图) 不仅适用于电网络, 相同有向图),不仅适用于电网络,也适用于非电网 络. 3.要求uk,ik方向同,若方向反,应为 kik . .要求 方向同,若方向反,应为-u