第7讲 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0，0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0F ⎝⎛⎭⎫－p2，0 F ⎝⎛⎭⎫0，p 2 F ⎝⎛⎭⎫0，－p2 离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p2y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向 向右 向左向上向下焦半径 (其中 P (x 0， y 0))|PF |＝ x 0＋p 2|PF |＝ －x 0＋p 2|PF |＝ y 0＋p 2|PF |＝ －y 0＋p 2(以右图为依据)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24.(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2θ(θ为AB 的倾斜角)． (3)1|AF |＋1|BF |为定值2p. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) (3)若一抛物线过点P (－2，3)，则其标准方程可写为y 2＝2px (p >0)．( ) (4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×(教材习题改编)抛物线y ＝－14x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(1，0)D ．(－1，0)解析：选A.抛物线y ＝－14x 2的标准方程为x 2＝－4y ，开口向下，p ＝2，p2＝1，故焦点为(0，－1)．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y解析：选D.设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y . (教材习题改编)焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．解析：抛物线的标准方程的焦点都在坐标轴上，直线2x ＋y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－1，0)与(0，－2)，故所求的抛物线的焦点为(－1，0)或(0，－2)，当焦点为(－1，0)时，易得抛物线标准方程为y 2＝－4x .当焦点为(0，－2)时，易得抛物线标准方程为x 2＝－8y . 答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________． 解析：如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作P A ⊥y 轴，垂足是A ，延长P A 交直线l 于点B ，则|AB |＝2，由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6. 答案：6抛物线的定义(高频考点)抛物线的定义是高考的热点，考查时多以选择题、填空题形式出现，个别高考题有一定难度．高考对该内容的考查主要有以下三个命题角度： (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点与焦点的距离； (3)求距离和的最值．[典例引领]角度一 求抛物线的标准方程(2018·天津模拟)已知动圆过定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，且与直线x ＝－p2相切，其中p >0，则动圆圆心的轨迹E 的方程为________________．【解析】 依题意得，圆心到定点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离与到直线x ＝－p2的距离相等，再依抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹E 为抛物线，其方程为y 2＝2px . 【答案】 y 2＝2px角度二 求抛物线上的点与焦点的距离(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝____________．【解析】 法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2，0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，则点M 的横坐标为1，所以|MF |＝1－(－2)＝3，|FN |＝2|MF |＝6. 【答案】 6角度三 求距离和的最值已知抛物线y 2＝4x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．【解析】 如图，过点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4. 【答案】 4若本例中的B 点坐标改为(3，4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解：由题意可知点(3，4)在抛物线的外部．因为|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离， 所以|PB |＋|PF |≥|BF |＝42＋22＝16＋4＝2 5.即|PB |＋|PF |的最小值为2 5.抛物线定义的应用(1)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p 2.[通关练习]1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A.由题意知抛物线的准线为x ＝－14.因为|AF |＝54x 0，根据抛物线的定义可得x 0＋14＝|AF |＝54x 0，解得x 0＝1.2．已知动点P 的坐标(x ，y )满足方程5（x －1）2＋（y －2）2 ＝|3x ＋4y ＋12|，则点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线解析：选 D.由5（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|⇒（x －1）2＋（y －2）2＝|3x ＋4y ＋12|5，所以动点P 到定点(1，2)的距离等于其到直线l ：3x ＋4y ＋12＝0的距离，所以点P 的轨迹是抛物线．3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B ．1 C.54D.74解析：选C.如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，MM 1⊥l 于M 1，由抛物线的定义知p ＝12，|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.故选C.抛物线的性质[典例引领](1)(2016·高考全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8(2)(2018·东北四市模拟)若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12 C.14D.18【解析】 (1)由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝⎛⎭⎫4p ，22，D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，得p ＝4，所以选B.(2)由题意知x 2＝12y ，则F ⎝⎛⎭⎫0，18，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 20＋⎝⎛⎭⎫2x 20－182＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18. 【答案】 (1)B (2)D抛物线性质的应用技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数．[通关练习]1．(2018·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( ) A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝15x2解析：选B.设M (x ，y )，因为|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .2.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了________ m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m. 答案：1直线与抛物线的位置关系[典例引领](2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点， 故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2tx ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．直线与抛物线位置关系的判断直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与抛物线y 2＝2px (p >0)联立方程组，消去y ，得到k 2x 2＋2(mk －p )x ＋m 2＝0的形式．当k ＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k ≠0时，设其判别式为Δ， (1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点； (2)相切；Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点； (3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．[提醒] 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．[通关练习]1．过点(－2，1)斜率为k 的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则由k 的值组成的集合为________．解析：设l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋（2k ＋1）y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0，①当k ＝0时，y ＝1，此时x ＝14，l 与抛物线仅有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1. ②当k ≠0时，由Δ＝－16(2k 2＋k －1)＝0，得k ＝－1或k ＝12，所以k 的值组成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，12.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－1，122.(2018·湖南长沙四县联考)如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3. (1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1，0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为∠AGB 的平分线． 解：(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：因为点A (2，m )在抛物线E 上， 所以m 2＝4×2，解得m ＝22，即A (2，22)， 又F (1，0)，所以直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，所以B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1，0)，所以k GA ＝223，k GB ＝－223，所以k GA ＋k GB ＝0，所以∠AGF ＝∠BGF ， 所以GF 为∠AGB 的平分线．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”；一个动点M ，一个定点F (抛物线的焦点)，一条定直线l (抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)． 抛物线最值问题的求法(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离，可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线过某点的切线与定直线平行时，两直线间的距离问题．(2)求抛物线上一点到定点的最值问题，可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，在利用函数求最值的方法求解时，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围． 易错防范(1)区分y ＝ax 2(a ≠0)与y 2＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)．1．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12解析：选C.由已知，得准线方程为x ＝－2，所以F 的坐标为(2，0)．又A (－2，3)，所以直线AF 的斜率为k ＝3－0－2－2＝－34.2．若点A ，B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 是坐标原点，若正三角形OAB 的面积为43，则该抛物线方程是( ) A ．y 2＝233xB ．y 2＝3xC ．y 2＝23xD ．y 2＝33x 解析：选A.根据对称性，AB ⊥x 轴，由于正三角形的面积是43，故34AB 2＝43，故AB ＝4，正三角形的高为23，故可以设点A 的坐标为(23，2)，代入抛物线方程得4＝43p ，解得p ＝33，故所求的抛物线方程为y 2＝233x .故选A. 3．(2018·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( ) A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：选 C.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0，0)和(4p ，8p )，则（4p ）2＋（8p ）2＝45，得p ＝1(舍去负值)，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2018·湖南省五市十校联考)已知抛物线y 2＝2x 上一点A 到焦点F 的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF |>2，则点A 到原点的距离为( ) A.41 B ．2 2 C ．4D ．8解析：选B.令点A 到点F 的距离为5a ，点A 到x 轴的距离为4a ，则点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5a －12，4a ，代入y 2＝2x 中，解得a ＝12或a ＝18(舍)，此时A (2，2)，故点A 到原点的距离为2 2.5．(2018·太原模拟)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |等于( ) A.72 B.52 C ．3D ．2解析：选C.因为FP →＝4FQ →，所以|FP →|＝4|FQ →|，所以|PQ ||PF |＝34.如图，过Q 作QQ ′⊥l ，垂足为Q ′，设l 与x 轴的交点为A ，则|AF |＝4，所以|PQ ||PF |＝|QQ ′||AF |＝34，所以|QQ ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ ′|＝|QF |＝3.6．(2018·云南大理州模拟)在直角坐标系xOy 中，有一定点M (－1，2)，若线段OM 的垂直平分线过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________． 解析：依题意可得线段OM 的垂直平分线的方程为2x －4y ＋5＝0， 把焦点坐标⎝⎛⎭⎫0，p 2代入可求得p ＝52， 所以准线方程为y ＝－54.答案：y ＝－547．(2018·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________． 解析：设满足题意的圆的圆心为M . 根据题意可知圆心M 在抛物线上， 又因为圆的面积为36π，所以圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋p 2＝6，即x M ＝6－p 2，又由题意可知x M ＝p 4，所以p 4＝6－p2，解得p ＝8.所以抛物线方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x8．已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线的右焦点坐标为(2，0)，所以上述两点连线的方程为x 2＋2y p ＝1.双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .对函数y ＝12p x 2，y ′＝1p x .设M (x 0，y 0)，则1p x 0＝33，即x 0＝33p ，代入抛物线方程得y 0＝16p ，由于点M 在直线x 2＋2y p ＝1上，所以36p ＋2p×p 6＝1，解得p ＝43＝433. 答案：4339．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x －4所得的弦长|AB |＝35，求此抛物线方程．解：设所求的抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线y ＝2x －4代入y 2＝ax ，得4x 2－(a ＋16)x ＋16＝0，由Δ＝(a ＋16)2－256>0，得a >0或a <－32. 又x 1＋x 2＝a ＋164，x 1x 2＝4，所以|AB |＝（1＋22）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝35， 所以5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋1642－16＝45，所以a ＝4或a ＝－36.故所求的抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－36x .10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2，于是4＋p2＝5，所以p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4，4)， 由题意得B (0，4)，M (0，2)． 又因为F (1，0)，所以k F A ＝43，因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.又F A 的方程为y ＝43(x －1)，①MN 的方程为y －2＝－34x ，②联立①②，解得x ＝85，y ＝45，所以点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.1．(2018·甘肃兰州模拟)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1解析：选C.由题意得F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设P ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y 0， 显然当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.要求k OM 的最大值，则y 0>0，则OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝⎝⎛⎭⎫y 206p ＋p 3，y 03，所以k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤22y 0p ·2p y 0＝22， 当且仅当y 20＝2p 2时，取得等号．2．(2018·福建省普通高中质量检查)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且A ，C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.设抛物线的准线与x 轴交于点D ，则由题意，知F (1，0)，D (－1，0)，分别作AA 1，BB 1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A 1，B 1，则有|AC ||FC |＝|AA 1||FD |，所以|AA 1|＝43，故|AF |＝43.又|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|，即|AC ||AC |＋|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，亦即2|AF |3|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，解得|BF |＝4，故选C. 3．(2017·高考北京卷)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)．过点(0，12)作直线l 与抛物线C交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点．解：(1)由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，得p ＝12.所以抛物线C 的方程为y 2＝x .抛物线C 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋12(k ≠0)，l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0.则x 1＋x 2＝1－k k 2，x 1x 2＝14k2.因为点P 的坐标为(1，1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)． 直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，y 2x 1x 2. 因为y 1＋y 2x 1x 2－2x 1＝y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝⎝⎛⎭⎫kx 1＋12x 2＋⎝⎛⎭⎫kx 2＋12x 1－2x 1x 2x 2＝（2k －2）x 1x 2＋12（x 2＋x 1）x 2＝（2k －2）×14k 2＋1－k2k2x 2＝0，所以y 1＋y 2x 1x 2＝2x 1.故A 为线段BM 的中点．4．(2018·湖南六校联考)已知抛物线的方程为x 2＝2py (p >0)，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为k (k ≠0)的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M . (1)求OA →·OB →；(2)设直线MF 与抛物线交于C ，D 两点，且四边形ACBD 的面积为323p 2，求直线AB 的斜率k .解：(1)设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝kx ＋p 2，得x 2－2pkx －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2pk ，x 1·x 2＝－p 2， 所以OA →·OB →＝x 1·x 2＋y 1·y 2＝－34p 2.(2)由x 2＝2py ，知y ′＝xp，所以抛物线在A ，B 两点处的切线的斜率分别为x 1p ，x 2p，所以直线AM 的方程为y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BM 的方程为y －y 2＝x 2p(x －x 2)，则可得M ⎝⎛⎭⎫pk ，－p 2. 所以k MF ＝－1k，所以直线MF 与AB 相互垂直．由弦长公式知，|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·4p 2k 2＋4p 2＝2p (k 2＋1)， 用－1k代替k 得，|CD |＝2p ⎝⎛⎭⎫1k 2＋1， 四边形ACBD 的面积S ＝12·|AB |·|CD |＝2p 2⎝⎛⎭⎫2＋k 2＋1k 2＝323p 2， 解得k 2＝3或k 2＝13，即k ＝±3或k ＝±33.。