模块检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( )．A ．0⊆AB ．{0}∈AC ．∅∈AD ．{0}⊆A解析 A 、B 、C 中符合“∈”“⊆”用错． 答案 D2．已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝( )．A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由1－x >0得x <1，∴M ＝{x |x <1}．∵1＋x >0，∴x >－1.∴N ＝{x |x >－1}．∴M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C3．若0<m <n ，则下列结论正确的是 ( )．A ．2m >2nB ．(12)m <(12)nC ．log 2m >log 2nD ．解析 ∵y ＝2x 是增函数0<m <n ， ∴2m <2n ；∵y ＝(12)x 是减函数，0<m <n ，∴(12)m >(12)n ；y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2m <log 2n . 答案 D4．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是( )．A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点 解析 零点在(0,2)内，则不在[2,16)内． 答案 C5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1 x <1x 2＋ax x ≥1若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )．A.12B.45 C ．2D ．9解析 ∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a ＝4a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2. 答案 C6．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足的x 的取值范围是( )．A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞) C ．(0，18)∪(12，2) D．(0，12)答案 B 7．函数y ＝x ＋43－2x的定义域是( )．A ．(－∞，32] B ．(－∞，32) C ．[32，＋∞)D ．(32，＋∞)解析 由3－2x >0得x <32. 答案 B8．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝( )． A ．∅ B ．{x |x ≤0}C ．{x |x >－1}D ．{x |x >0或x ≤－1}解析 U B ＝{x |x >－1}，U A ＝{x |x ≤0}，∴A ∩U B ＝{x |x >0}，B ∩U A ＝{x |x ≤－1}，∴(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝{x |x >0或x ≤－1}． 答案 D9．设a >0，a ≠1，则函数y ＝log a x 的反函数和函数y ＝log a 1x 的反函数的图象关于( )．A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．原点对称解析 y ＝log a x 与y ＝log a 1x ＝－log a x 关于y 轴对称， 则其反函数也关于y 轴对称． 答案 B10．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析 由题意知需f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案 A11．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 21x ＋1的图象关于y ＝x 对称，则f (1)的值为( )．A ．1B ．－1C.12D．－12解析(m，n)关于y＝x的对称点(n，m)，要求f(1)，即求满足1＝log21x＋1的x的值，解得x＝－1 2.答案 D12．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于()．A.13 B. 2C.22D．2解析∵x∈[0,1]，∴x＋1∈[1,2]．当a>1时，log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2.当0<a<1时，log a2≤log a(x＋1)≤log a1＝0与值域[0,1]矛盾．答案 D二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________.解析原式＝14×24＋3lg 2＋3lg 5＝4＋3＝7.答案714．满足对定义域内任意x1，x2，都有f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)成立的函数f(x)＝________(写出一个即可)．解析由于指数函数y＝a x，有故只需写一个指数函数即可．答案2x15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为________．解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f (log 2x )>0，可化为：f (|log 2x |)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|log 2x |>2，∴log 2x >2或log 2x <－2， ∴x >4或0<x <14.答案 (0，14)∪(4，＋∞) 16．设在m >1时，a 、b 、c 的大小关系是________．解析 因为m >1，所以0<a ＝(23)m <23，故b >a >c .答案 b >a >c三、解答题(共6小题，共70分)17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}． (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；(2)当x ∈R 且A ∩B ＝∅时，求m 的取值范围． 解 (1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1⇒m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎨⎧ 2m ＋1<－2m －1≤2m ＋1或⎩⎨⎧m －1>5m －1≤2m ＋1，解得－2≤m <－32或m >6. 综上：m <－32或m >6.18．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．解 (1)由⎩⎨⎧1－x >0x ＋3>0得－3<x <1，所以函数的定义域{x |－3<x <1}，f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)， 设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， 所以t ≤4，又t >0，则0<t ≤4.当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0<a <1时，y ≥log a 4，值域为{y |y ≥log a 4}． (2)由题意及(1)知：当0<a <1时，函数有最小值， 所以log a 4＝－2，解得：a ＝12.19．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解 (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)．∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立．∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227. 20．(12分)已知函数f (x )＝a x －a ＋1，(a >0且a ≠1)恒过定点(3,2)，(1)求实数a；(2)在(1)的条件下，将函数f(x)的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g(x)，设函数g(x)的反函数为h(x)，求h(x)的解析式；(3)对于定义在[1,9]的函数y＝h(x)，若在其定义域内，不等式[h(x)＋2]2≤h(x2)＋m＋2恒成立，求m的取值范围．解(1)由已知a3－a＋1＝2，∴a＝3，(2)∵f(x)＝3x－3＋1，∴g(x)＝3x，∴h(x)＝log3x(x>0)．(3)要使不等式有意义，则有1≤x≤9且1≤x2≤9，∴1≤x≤3，据题有(log3x＋2)2≤log3x2＋m＋2在[1,3]恒成立．∴设t＝log3x(1≤x≤3)，∴0≤t≤1.∴(t＋2)2≤2t＋m＋2在[0,1]时恒成立，即：m≥t2＋2t＋2在[0,1]时恒成立，设y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，t∈[0,1]，∴t＝1时有y max＝5，∴m≥5.21．(12分)设函数f(x)＝ax－1x＋1，其中a∈R.(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．解f(x)＝ax－1x＋1＝a(x＋1)－a－1x＋1＝a－a＋1x＋1，设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝a＋1x2＋1－a＋1x1＋1＝(a＋1)(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1).(1)当a＝1时，f(x)＝1－2x＋1，设0≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝2(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)，又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[0,3]上是增函数，∴f(x)max＝f(3)＝1－24＝12，f(x)min＝f(0)＝1－21＝－1.(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，而f(x1)－f(x2)＝(a＋1)(x1－x2)(x1＋1)(x2＋1)，∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．22．(12分)某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝1150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝1150·x(x＋1)(35－2x)－1150(x－1)x[35－2(x－1)]＝1150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝1150x(72－6x)＝125x(12－x)．∴g(x)＝125x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝x25(12－x)＝－125(x2－12x＋36－36)＝－125[(x－6)2－36]＝－125(x－6)2＋3625，∴当x＝6时，g(x)有最大值36 25.即第六个月需求量最大，为3625万件．。