理工大学试卷（历年试题）考试科目： 概率统计B(48学时) 考试日期： 命题教师：2013年概率统计试题一、填空题（每小题4分，共40分）1.设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 中至少有两个发生可表示为 。

2.已知1()4p A =，1(|)2p A B =，1(|)3p B A =，则()p A B ⋃= 。

3.设事件A,B 互不相容，且1()2p A =，1()3p B =，则()p AB = 。

4．进行独立重复实验，设每次成功的概率为p ,失败的概率为1p -,将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示实验次数，则()p X k == 。

5．已知随机变量X 服从参数2λ=的泊松分布，即(2)XP ，则(0)p X == 。

6．已知随机变量(2,1)X N -，(2,1)Y N 且,X Y 相互独立，则2X Y -服从的分布是 。

7．若随机变量X 满足()1,()2,E X D X =-=则2(31)E X -= 。

8．设12,X X 是来自于总体X 的样本，1121233X X μ=+，2121122X X μ=+为总体均值μ的无偏估计，则12,μμ中较有效的是 。

9．设12,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，2σ已知，则212()nii XX σ=-∑服从的分布是 ，212()nii Xμσ=-∑服从的分布是 。

10．设12,,n X X X 为来自总体2(,)N μσ的一个样本，2σ未知，则μ的1α-的置信区间是为 。

一、 填空题（每小题4分，共40分）1．ABBC AC 2.13 3.124. ()p X k ==1(1)k p p -- 1,2,k=5. 2e -6.(6,5)N -7. 88. 2μ9. 22(1),()n n χχ-10. 22(_(1),(1))x n x n αα-- 二、(10分)某保险公司把被保险人分为三类：谨慎的、一般的、冒失的，统计资料表明，上述三种人在一年发生事故的概率依次为0.05，0.15和0.30。

如果谨慎的占总的被保人数的20%，一般的占50%，冒失的占30%，(1)求某被保人在一年发生事故的概率；(2)若此人在一年发生事故，则他是谨慎的客户的概率是多少。

解. 设事件B 为 “被保险人在一年出了事故” 这一事件；事件123,,A A A 分别为“谨慎的、一般的、冒失的被保险人”，则根据全概率公式可得：112233()(|)()(|)()(|)()P B p B A p A p B A p A p B A p A =++ 3分=0.2×0.05+0.5×0.15+0.3×0.3=0.175 5分111112233(|)()(|)(|)()(|)()(|)()p B A p A P A B p B A p A p B A p A p B A p A =++ 8分=0.050.20.05710.175⨯= 10分三、(10分)已知连续型随机变量X 有分布函数：()arctan ,F x A B x x =+-∞<<∞，试求(1)系数,A B ；，(2) 求概率密度()f x ；(3) X 在区间(,)a b 取值的概率。

解.(1) ()0()1F F -∞=⎧⎨∞=⎩ 0212A B A B ππ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩121A B π⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3分 (2) 2()1()()(1)dF x f x x dx x π==-∞<<∞+ 6分(3) ()()()p a x b F b F a <<=- 8分 1111arctan (arctan )22b a ππ=+-+ arctan arctan b aπ-=10分四、(10分)已知连续型随机变量X 的概率密度函数为：220()0xxe x F x x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩求2Y X =的概率密度。

解. 显然当0,()0Y y f y ≤=当0,y > ()()Y F y P Y y =≤ 3分 =2()P X y ≤=(P X ≤≤=(0P X ≤≤=2x xe dx - 7分'()()Y Y f y F y ==0y y e y --=> 10分所以： 0()0yY e y f y y -⎧>=⎨≤⎩五、(10分)设二维随机变量(X,Y)的联合分布律如下，求(1)a ，(2) 二维随机变量(X,Y)的 边缘分布律 (3) X,Y 是否独立 (4) E(X)，D(X)。

解. (1)有概率的规性可知，0.150.150.351a +++=所以有：0.35a = 2分 (2)5分(3) 因为 X Y 满足：(,)()()i j i j p X x Y y p X x p Y y =====，1,20,1i j ==所以X,Y 独立。

7分(4) ()10.520.5 1.5E X =⨯+⨯= 222()10.520.5 2.5E X =⨯+⨯=222()()() 2.5 1.50.25D X E X E X =-=-= 10分六、（10分）一工厂生产某种元件的寿命X （以小时计）服从参数为160,μσ=的正态分布。

(1)若要求{}1202000.80P X <<≥，允许σ最大为多少？ (2)若{}()()20, 120200?(1.280.9,20.977)P X ФФσ=<<===解. (1)P{120<X<200}=}160200160160120{σσσ-<-<-X P =)40()40(σσ-Φ-Φ=2)40(σΦ-1 80.0≥即 )28.1()40(Φ≥Φσ 亦 25.3128.140=≤σ； 5分(2)当σ=20时，P{120<X<200}=}201602002016020160120{-<-<-X P =2)2040(Φ-1=2)2(Φ-1=0.954. 10分七、(10分)设12,,n X X X 为来自于总体 X 的一个样本, 总体 X 的密度函数为||1(),2x f x e x θθ-=-∞<<∞，求参数θ的极大似然估计ˆθ。

解1()(,)ni i L f x θθ==∏ 2分1||||111022nii i x nx ni e eθθθθθ=--=∑⎛⎫==> ⎪⎝⎭∏ 5分11ln ()ln 2||nii L n x θθθ==--∑ 7分21ln ()1||0nii d L n x d θθθθ=-=+=∑ 9分11ˆ||ni i x n θ==∑ 10分2012年概率统计试题（部分）一、填空题（每小题4分共40分）1．某市有50%的住户订阅日报，65%的住户订阅晚报，85%的住户至少订阅这两种报纸中的一种，则同时订阅这两种报纸的住户所占的百分比为 。

2．一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中随机抽取一件，发现不是三等品，则取到一等品的概率为 。

3．设随机变量~(2),X E c 是X 的可能取值，则()P X c == 。

4．设随机变量~(2,)X B p ，则2()E X = 。

5．设随机变量X 与Y 独立同分布，且1(1)(1)2P X P X =-===，则()D X Y -= 。

6．设随机变量X 与Y 的联合密度为1,0,1(,)0,x y f x y <<⎧=⎨⎩其他 则~X 。

7．设1234,,,X X X X 是取自正态总体(0,1)N 的样本，则~ 。

8．F 分布的分位数12(,)F n n α与121(,)F n n α-之间的关系是 。

9．设事件A 发生的概率是ˆ,n p p 是n 次独立重复试验中A 发生的频率，若用ˆn p 作为p 的估计，则ˆn p是p 的 估计。

10．设12,,...,n x x x 是取自正态总体2(,)N μσ的样本值，x 与2s 分别是样本均值与方差，其中2,μσ均未知，若置信水平为1α-，则μ的置信区间为 。

二、（12分）设随机变量X 的分布函数为0,1()arcsin ,21,x a x F x A a x a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<≤⎨⎪>⎪⎩， 试求（1）常数A ；（2）()2aP X <；（3）密度函数()f x 。

三、（10分）在电源电压不超过200V 、200-240V 、超过240V 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001、0.2，假设电压2~(220,25)X N ，试求电子元件损坏的概率（(0.8)0.7881Φ=）。

四、（12分）假设10只同种元件中有2只次品，从中任取一只，若是次品，则扔掉重取一只；若仍是次品，则扔掉再取一只。

试求在取到正品前，取出的次品数X 的分布律及方差()D X 。

六、（8分）设随机变量X 与Y 的联合密度为221,1(,)0,x y f x y π⎧+<⎪=⎨⎪⎩其他 试判定X 与Y 是否独立。

五、（8分）设有下表试求X 与Y 的联合分布律及[min(,)]E X Y 。

2010年概率统计试题（部分）一、填空题（每小题4分，共40分）1、设A 、B 、C 构成一完备事件组，且()0.5P A =，()0.7P B =，则()P C = 。

2、设某种动物从出生算起活20年以上的概率为0.8，活25年以上的概率为0.4。

现年20岁的这种动物能活25岁以上的概率是 。

3、某人向目标射击，直到击中目标为止，设各次击中与否相互独立且每次击中目标的概率为()01p p <<，则射击次数X 的分布律是 。

4、设每对夫妇的子女数X 服从参数为l 的泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为23e -，则任选一对夫妇至少有3个孩子的概率是 。

5、设[]1,6XU ，则二次方程210x Xx ++=有实根的概率是 。

6、设(),E X μ=2()D X σ=,则对任意正数ε，有()P X με-<> 。

7、设X 与Y 的联合概率密度：()2,01,0,x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他，则P(X+Y 1)=≤ 。

8、设X 与Y 独立同分布于()0,1N ,则X 与Y 的联合概率密度(),f x y = 。

9、设总体()20,XN σ,12,......nX X X是X 的样本，则1222......n X X σ++ 。

10、设(),E X μ=2()D X σ=，123,,X X X 是X 的样本，()1121ˆ2X X μ=+，()21231ˆ3X X X μ=++.12ˆˆ,μμ作为μ的估计量，较有效的是 。