高中二年级2013—2014学年下学期数学期中测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1.复数i －21＋2i＝( )．A ．iB ． i -C ．－45－35iD ．－45＋35i2.已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －1B ．4n －3C ．n 2D ．3n －13.若f (x )＝ln xx，e<a <b ，则( )A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>14.下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x ·e x)′＝e x＋1. A ．1B ．2C ．3D ．45.⎠⎛01(e x＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋16.在R 上可导的函数f (x )的图象如图所示，则关于x 的不等式x ·f ′(x )＜0的解集为( )A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)7.若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”。

下列四个命题，其中是“可换命题”的是（）①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．A．①② B．①④ C．①③ D．③④8.已知f(x)＝x2，i是虚数单位，则在复平面中复数(1)3f ii++对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线，是凸(n＋1)边形的对角线条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n－2 B．f(n)＋n－1C．f(n)＋n D．f(n)＋n＋110.设S是至少含有两个元素的集合．在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是 ( )A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b二、填空题（每小题6分, 共24分）11.设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝________. 12.设函数f (x )＝ax 2＋1，若⎠⎛01f (x )d x ＝2，则a ＝________.13.已知复数z ＝23(13)i i +- ，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.14.若数列{a n }的通项公式a n ＝21(1)n +，记c n ＝2(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝________.三、解答题（共计76分）．15.（本题满分12分）定义在x ∈[0,1]上的函数f (x )．若x 1≥0，x 2≥0且x 1＋x 2≤1，都有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立，则称函数f (x )为理想函数．g (x )＝2x －1(x ∈[0,1])是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由．16.（本题满分12分）设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)，求a 的取值范围． 17.（本题满分12分）已知函数f (x )＝x 2＋ln x . (1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋12x 2的下方．18.（本题满分12分）已知函数f (x )＝2x 3＋32tx 2－3t 2x ＋t －12，x ∈R，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)当t ≠0时，求f (x )的单调区间． 19.（本题满分14分）设f (x )＝2x x ＋2，x 1＝1，x n ＝f (x n －1)(n ≥2，n ∈N *)． (1)求x 2，x 3，x 4的值；(2)归纳并猜想{x n }的通项公式； (3)用数学归纳法证明你的猜想．20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝x 2＋2a ln x .(1)若函数f (x )的图象在(2，f (2))处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数g (x )＝2x＋f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围．高中二年级2013—2014学年下学期数学期中测试题B 卷答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分） 1. 【答案】 A【解析】 因为i －21＋2i ＝(2)(12)(12)(12)i i i i --+-＝5i5＝i ，故选择A.2. 【答案】C【解析】a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 3.【答案】A 【解析】 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，f (a )>f (b )．4. 【答案】 B【解析】 ①(3x)′＝3xln 3；②(log 2x )′＝1x ln 2；③(e x )′＝e x；④(1ln x )′＝－1x (ln x )2＝－1x ·(ln x )2；⑤(x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝e x(x ＋1)，故选B.5. 【答案】 C【解析】 ⎠⎛01(e x＋2x )d x ＝(e x＋x 2)| 10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.6. 【答案】 A【解析】 (1)当x ∈(－∞，－1)和x ∈(1，＋∞)时，f (x )是增函数， ∴f ′(x )＞0，因此x ＜0，∴x ·f ′(x )＜0的范围是(－∞，－1)． (2)当－1＜x ＜1时，f (x )递减，∴f ′(x )＜0. 由x ·f ′(x )＜0，得x ＞0，∴0＜x ＜1. 故x ·f ′(x )＜0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)． 7.【答案】C【解析】②中垂直于同一直线的两直线不一定平行（由正方体的一个顶点引出的三条棱相互垂直）④平行于同一直线的两平面不一定平行，也可能垂直 故：②④不是“可换命题” 8. 【答案】A【解析】f (1＋i)＝(1＋i)2＝2i ，∴(1)3f i i++＝2i 3＋i ＝2＋6i 10＝15＋35i ，故对应点在第一象限． 9. 【答案】B【解析】由题意知f (n ＋1)－f (n )＝n －1，故f (n ＋1)＝f (n )＋n －1. 10. 【答案】A【解析】此题只有一个已知条件：a *(b *a )＝b .B 中a *(b *a )＝b 原式变为b *(a *b )＝a ，成立． C 中相当于已知条件中a 替换为b ，明显成立．D 中，b *(a *b )＝a ，原式变为(a *b )*a ＝b 成立．二、填空题（每小题6分, 共24分） 11. 【答案】 －2. 【解析】 ∵y ′＝221(1)2(1)(1)x x x x --+=--- ∴y ′|x ＝3＝22(31)--＝－12，∴－a ＝2，即a ＝－2.12. 【答案】 3【解析】 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋1)d x ＝(13ax 3＋x )| 10＝13a ＋1，∴13a ＋1＝2，即a ＝3. 13. 【答案】 14【解析】方法一 由z ＝23(13)ii +-＝3＋i －2－23i，得z ＝3－i －2＋23i ，∴z ·z ＝3＋i －2－23i ·3－i －2＋23i ＝3＋14＋12＝14.方法二 ∵z 23(13)ii +-＝3＋i －2－23i，∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12.∴z ·z ＝|z |2＝14.14. 【答案】n ＋2n ＋1【解析】c 1＝2(1－a 1)＝2×(1－14)＝32，c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×(1－14)×(1－19)＝43，c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×(1－14)×(1－19)×(1－116)＝54，故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1. 三、解答题（共计76分）．15.【解析】g (x )＝2x－1(x ∈[0,1])是理想函数．L L L 2分当x 1≥0，x 2≥0，且x 1＋x 2≤1时， f (x 1＋x 2)＝2x 1＋x 2－1，f (x 1)＋f (x 2)＝2x 1＋2x 2－2， ∴f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]＝2x 1＋x 2－2x 1－2x 2＋1 ＝2x 1(2x 2－1)－(2x 2－1)＝(2x 2－1)(2x 1－1)，L L L 8分 ∵x 1≥0，x 2≥0， ∴2x 1－1≥0,2x 2－1≥0，∴f (x 1＋x 2)－[f (x 1)＋f (x 2)]≥0，则f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)． 故函数g (x )＝2x－1(x ∈[0,1])是理想函。

L L L 12分16. 【解析】设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＝x －y i ，由(1)知x <0，y >0，L L L 2分 又z ·z ＋2i z ＝8＋a i(a ∈R)，故(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ，即(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝8＋a i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝82x ＝a，即4(y －1)2＝36－a 2，L L L 6分∵y >0，∴4(y －1)2≥0，∴36－a 2≥0，即a 2≤36，－6≤a ≤6，又2x ＝a ，而x <0，∴a <0，故－6≤a <0，∴a 的取值范围为[－6,0)．L L L 12分 17. 【解析】(1)∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1x.∵x ＞1时，f ′(x )＞0，故f (x )在[1，e]上是增函数，∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. L L L 6分 (2)证明：令F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2－23x 3＋ln x ，∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝2(1)(21)x x x x-++.L L L 8分∵x ＞1，∴F ′(x )＜0.∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴F (x )＜F (1)＝12－23＝－16＜0，即f (x )＜g (x )．∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方．L L L 12分 18. 【解析】(1)当t ＝1时，f (x )＝2x 3＋32x 2－3x ，f (0)＝0，f ′(x )＝6x 2＋3x －3，k ＝f ′(0)＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－3x . L L L 4分 (2)f ′(x )＝6x 2＋3tx －3t 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t2.L L L 6分因为t ≠0，以下分两种情况讨论：①若t ＜0，则t2＜－t ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，t2)(t2，－t ) (－t ，＋∞)f ′(x ) ＋ －＋ f (x )Z]Z所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(t2，－t )．L L L 9分②若t ＞0，则－t ＜t2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－t )(－t ，t2)(t2，＋∞) f ′(x ) ＋－＋f (x )Z]Z所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，(t2，＋∞)；f (x )的单调递减区间是(－t ，t2)．L L L 12分19. 【解析】(1)x 2＝f (x 1)＝23，x 3＝f (x 2)＝2×2323＋2＝12＝24，x 4＝f (x 3)＝2×1212＋2＝25.L L L 4分(2)根据计算结果，可以归纳猜想出x n ＝2n ＋1.L L L 7分 (3)①当n ＝1时，x 1＝21＋1＝1，与已知相符，归纳出的公式成立．L L L 9分②假设当n ＝k (k ∈N *)时，公式成立，即x k ＝2k ＋1，那么，x k ＋1＝2x k x k ＋2＝2×2k ＋12k ＋1＋2＝42k ＋4＝2(1)1k ++，所以，当n ＝k ＋1时公式也成立． 由①②知，n ∈N *时，有x n ＝2n ＋1成立．L L L 14分 20. 【解析】(1)f ′(x )＝2x ＋2a x ＝2x 2＋2ax，由已知f ′(2)＝1，解得a ＝－3. L L L 4分 (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．L L L 5分①当a ≥0时，f ′(x )＞0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；L L L 7分 ②当a ＜0时，f ′(x )＝2()()x a x a +---.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下：x (0，－a )－a (－a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋f (x )]极小值Z由上表可知，函数f (x )的单调递减区间是(0，－a )；单调递增区间是(－a ，＋∞)．L L L 10分(3)由g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 得g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax，由已知函数g (x )为[1,2]上的单调减函数，则g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即－2x 2＋2x ＋2a x ≤0在[1,2]上恒成立．即a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．L L L 12分令h (x )＝1x －x 2，在[1,2]上h ′(x )＝－1x 2－2x ＝－(1x2＋2x )＜0，所以h (x )在[1,2]上为减函数，h (x )min ＝h (2)＝－72，所以a ≤－72.故实数a 的取值范围为{a |a ≤－72}．L L L 14分。