反比例函数专题知识点归纳+常考（典型）题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.知识结构 (2)2.反比例函数的概念 (2)3.反比例函数的图象 (2)4.反比例函数及其图象的性质 (2)5.实际问题与反比例函数 (4)三、常考题型 (6)1.反比例函数的概念 (6)2．图象和性质 (6)3．函数的增减性 (8)4．解析式的确定 (10)5．面积计算 (12)6．综合应用 (17)三、重难点题型 (22)1.反比例函数的性质拓展 (22)2.性质的应用 (23)1.求解析式 (23)2.求图形的面积 (23)3. 比较大小 (24)4. 求代数式的值 (25)5. 求点的坐标 (25)6. 确定取值范围 (26)7. 确定函数的图象的位置 (26)二、基础知识点1.知识结构2.反比例函数的概念（k≠0）可以写成y=x−1（k≠0）的形式，注意自变量x 1．y=kx的指数为－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数k≠0这一限制条件；（k≠0）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反2．y=kx比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；的自变量x≠0，故函数图象与x轴、y轴无交点．3．反比例函数y=kx3.反比例函数的图象的图象时，应注意自变量x的取值在用描点法画反比例函数y=kx不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．4.反比例函数及其图象的性质1．函数解析式：y=k（k≠0）x2．自变量的取值范围：x≠03．图象：（1）图象的形状：双曲线．|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．|k|越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：①与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．②当k＞0时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；③当k＜0时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（－a，－b）在双曲线的另一支上．②图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（－b，－a）在双曲线的另一支上．（4）k的几何意义图1上任意一点，作PA⊥x①如图1，设点P（a，b）是双曲线y=kx轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO|k|）．和三角形PBO的面积都是12图2②如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|．（5）说明：①双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．的关系：②直线y=k1x与双曲线y=k2x当k1k2＜0时，两图象没有交点；当k1k2＞0时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．5.实际问题与反比例函数1．求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．三、常考题型1.反比例函数的概念（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=3x B．y－3=2x C．3xy=1 D．y=x2答案：A为正比例函数B为一次函数C变型后为反比例函数D为二次函数（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）．A．y=14x B．y=−1x2C．y=1x−1D．y=1+1x答案：A为反比例函数，k为14B、C、D都不是反比例函数2．图象和性质（1）已知函数y=（k+1）x k2+k−3是反比例函数。

①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．②若y随x的增大而减小，那么k=___________．答案：①因为函数是反比例函数，且经过二、四象限所以{k+1＜0k2+k−3=−1解得：k=－2②因为函数是反比例函数，且y随x的增大而减小所以{k+1＞0k2+k−3=−1解得：k=1（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数y=abx 的图象位于第________象限．答案：因为y=ax+b经过一、二、四象限所以a＜0，b＞0所以ab＜0所以函数y=abx经过二、四象限（3）若反比例函数y=kx经过点（－1，2），则一次函数y=－kx+2的图象一定不经过第_____象限．答案：因为函数y=kx经过点（－1，2）所以2=k−1，解得k=－2所以y=－kx+2为y=2x+2所以a＞0，b＞0所以经过一、二、三象限（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上，则直线y=ax+b不经过的象限是答案：因为点P（a，b）在反比例函数y=ax的图象上所以b=aa=1因为a·b＜0所以a＜0所以y=ax+b经过一、二、四象限，不经过第三象限（5）若P（2，2）和Q（m，−m2）是反比例函数y=k图象上的两点，x则一次函数y=kx+m的图象经过哪几个象限？答案：因为P（2，2）是y=k上的点x所以k=4因为Q（m，−m2）是反比例函数y=k图象上的点x所以−m2=4m所以m＜0所以y=kx+m经过一、三、四象限（k≠0），它们在同一坐标系内的（6）已知函数y=k（x－1）和y=kx图象大致是（）．A． B． C． D．答案：B3．函数的增减性（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B （1）在反比例函数y=kx（x2，y2），且x1＞x2＞0，则y1−y2的值为（）．A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 答案：A 因为k ＜0所以函数图像在二、四象限，y 随x 的增大而增大 因为x 1＞x 2所以y 1＞y 2，所以y 1−y 2为正数（2）在函数y =−a 2−1x（a 为常数）的图象上有三个点（−1，y 1），（−14，y 2），（12，y 3），则函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是怎样的？ 答案：因为函数为y =−a 2−1x，其中−a 2−1＜0所以函数图像在二、四象限，y 随x 的增大而增大 因为－1＜−14＜12所以y 1＜y 2＜y 3（3）下列四个函数中：①y=5x ；②y=－5x ；③y=5x；④y=−5x．其中y 随x 的增大而减小的函数有：答案：要使y 随x 的增大而减小，则正比例函数k ＜0 符合条件的有：②③为反比例函数，且k ＞0，是在每一个象限内y 随x 的增大而减小，不符合。

综上得，符合条件的有：②（4）已知反比例函数y=kx的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．答案：{y=2xy=x+1，解得{x=1y=2所以反比例函数过点（1,2），则k=2＞0所以当x＞0时，在第一象限，y随x的增大而减小4．解析式的确定（1）若y与1x 成反比例，x与1z成正比例，则y是z的（）．A．正比例函数 B．反比例函数C．一次函数 D．不能确定答案：B因为y与1x成反比例所以y∙1x=k1因为x与1z成正比例所以x=k2∙1z合并得：yz=k1k2所以为反比例函数（2）若正比例函数y=2x与反比例函数y=kx的图象有一个交点为（2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．答案：因为y=2x过点（2，m）所以m=2×2=4因为y =kx过点（2，m ），即（2,4）所以k=8{y =2xy =8x，解得另一个点为：（－2，－4）（3）已知反比例函数y =m 2x的图象经过点（－2，－8），反比例函数y =m x的图象在第二、四象限，求m 的值． 答案：因为函数y =m 2x的图象经过点（－2，－8）所以－8×（－2）=m 2 m=±4因为y =mx 的图象在第二、四象限所以m ＜0 所以m=－4（4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数y =m+1x（m≠0）的图象在第一象限内的交点为P （x0，3）．①求x0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式． 答案：①{3=x0+m3=m+1x0解得：{x0=1m =2②一次函数解析式为：y=x+2 反比例函数解析式为：y =3x（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克．请根据题中所提供的信息解答下列问题：①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案：①y=34x，0≤x≤8；y=48x，x＞8②30③消毒时间为：483−3×34=13.25＞10，所以有效5．面积计算（1）如图，在函数y =−3x的图象上有三个点A 、B 、C ，过这三个点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为S 1、S 2、S 3，求三个面积的大小关系。

答案：根据反比例函数图像面积的性质知 S 1=S 2=S 3（2）如图，A 、B 是函数y =1x 的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC//y 轴，BC//x 轴，△ABC 的面积S ，则（ ）．A ．S=1B ．1＜S ＜2C ．S=2D ．S ＞2 答案：C设A （a ，1a），其中a ＞0，则B （－a ，−1a）BC= a －（－a ）=2a ，AC=1a－（−1a）=2a所以S=12×2a ×2a=2（3）如图，Rt△AOB 的顶点A 在双曲线y =mx 上，且S △AOB =3，求m 的值．答案：根据反比例函数图像性质S△AOB=|m|2又因为图像在第一象限所以m＞0所以m=6（4）已知函数y=4x的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2，P2R2，垂足分别为Q2，R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小．答案：{y=4xy=x，解得x=2，y=2，即P1（2,2）{y=4xy=2x，解得x=√2，y=2√2，即P1（√2,2√2）所以矩形OQ1P1R1的周长为（2+2）×2=8OQ2P2R2的周长为（√2+2√2）×2=6√2因为82=64＜（6√2）2=72 所以OQ 2P 2R 2的周长长。