反比例函数知识点及考点:(一)反比例函数的概念: 知识要点:1、一般地,形如 y =xk( k 是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。
注意:(1)常数 k 称为比例系数,k 是非零常数;(2)解析式有三种常见的表达形式: (A )y =xk (k ≠ 0) , (B )xy = k (k ≠ 0) (C )y=kx -1(k ≠0) 例题讲解:有关反比例函数的解析式 例一.下列函数,① 1)2(=+y x ②. 11+=x y ③21x y = ④.x y 21-=⑤2x y =-⑥13y x = ;其中是y 关于x 的反比例函数的有:_________________。
例二.函数22)2(--=ax a y 是反比例函数,则a 的值是( )A .-1B .-2C .2D .2或-2 例三.若函数11-=m x y (m 是常数)是反比例函数,则m =________,解析式为________.例四.如果y 是m 的反比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( )A .反比例函数B .正比例函数C .一次函数D .反比例或正比例函数 对应练习:1.如果y 是m 的正比例函数,m 是x 的反比例函数,那么y 是x 的( ) 2.如果y 是m 的正比例函数,m 是x 的正比例函数,那么y 是x 的( )3.反比例函数(0ky k x=≠)的图象经过(—2,5, n ),求1)n 的值; 2)判断点B (24,)是否在这个函数图象上,并说明理由4.已知y 与2x -3成反比例,且41=x 时,y =-2,求y 与x 的函数关系式.5.已知函数12y y y =-,其中1y 与x 成正比例, 2y 与x 成反比例,且当x =1时,y =1;x =3时,y =5.求:(1)求y 关于x 的函数解析式; (2)当x =2时,y 的值.(二)反比例函数的图象和性质: 知识要点:1、形状:图象是双曲线。
2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性:(1)当k>0时,_________________,y 随x 的增大而________;(2)当k<0时,_________________,y 随x 的增大而______。
4、变化趋势:双曲线无限接近于x 、y 轴,但永远不会与坐标轴相交5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________;(2)对于k 取互为相反数的两个反比例函数(如:y = x 6 和y = x6-)来说,它们是关于x 轴,y 轴___________。
例题讲解:例题讲解。
反比例函数的图象和性质:例一.写出一个反比例函数,使它的图象经过第二、四象限 .例二.若反比例函数22)12(--=mx m y 的图象在第二、四象限,则m 的值是( )A 、 -1或1;B 、小于12的任意实数; C 、-1; D、不能确定 例三.下列函数中,当0x <时,y 随x 的增大而增大的是( ) A .34y x =-+ B .123y x =-- C .4y x=- D .12y x =.例四.已知反比例函数2y x-=的图象上有两点A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),且12x x <, 则12y y -的值是( )A .正数B .负数C .非正数D .不能确定对应练习1.若点(1x ,1y )、(2x ,2y )和(3x ,3y )分别在反比例函数2y x=- 的图象上,且 1230x x x <<<,则下列判断中正确的是( )A .123y y y <<B .312y y y <<C .231y y y <<D .321y y y <<2.在反比例函数xk y 1+=的图象上有两点11()x y ,和22()x y ,,若x x 120<<时,y y 12>,则k 的取值范围是 .3.老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: . 4.作出反比例函数xy 4-=的图象,结合图象回答: (1)当x =2时,y 的值;(2)当1<x ≤4时,y 的取值范围; (3)当1≤y <4时,x 的取值范围.(三)反比例函数与面积结合题型。
知识要点:1、反比例函数与矩形面积:若P (x ,y )为反比例函数xky =(k≠0)图像上的任意一点如图1所示,过P作PM ⊥x 轴于M ,作PN ⊥y 轴于N ,求矩形PMON 的面积. 分析:S 矩形PMON =xy x y PN PM =⋅=⋅∵xky =, ∴ xy=k, ∴ S =k .2、反比例函数与矩形面积: 若Q (x ,y )为反比例函数xky =(k≠0)图像上的任意一点如图2所示,过Q 作QA ⊥x 轴于A (或作QB ⊥y 轴于B ),连结QO ,则所得三角形的面积为:S △QOA =2k (或S △QOB =2k ).说明:以上结论与点在反比例函数图像上的位置无关.例题讲解:例一.如图3,在反比例函数xy 6-=(x <0)的图象上任取一点P ,过P 点分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,那么四边形PMON 的面积为 .P y xOM N图1O By xAQ图Py M xN3M yN xO图4例二.反比例函数xky =的图象如图4所示,点M 是该函数图象上一点,MN ⊥x 轴,垂足为N.如果S △MON =2,这个反比例函数的解析式为______________对应练习。
1.如图5,正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x=的图象相交于A 、C 两点, 过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,连结BC .则ΔABC 的面积等于( ) A .1 B .2 C .4 D .随k 的取值改变而改变. 2.如图6,A 、B 是函数2y x=的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则( )A .2S =B .4S =C .24S <<D .4S >3.如图7,过y 轴正半轴上的任意一点P ,作x 轴的平行线,分别与反比例函数xy xy 24=-=和的图象交于点A 和点B ,若点C 是x 轴上任意一点,连接AC 、BC ,则△ABC 的面积为 ( ) (四)一次函数与反比例函数 例题讲解:例一.一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是( )A 、B 、C 、例二.一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象大致是( )yxOA CB图6图5图7对应练习1.一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=xk 2(k 1∙k 2≠0)的图象如图所示,若y 1>y 2,则x 的取值范围是( ) A 、﹣2<x <0或x >1 B 、﹣2<x <1C 、x <﹣2或x >1D 、x <﹣2或0<x <12.正比例函数2x y =和反比例函数2y x=的图象有 个交点. 3.正比例函数y=k 1x(k 1≠0)和反比例函数y=2k x(k 2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________. 4.设函数y =2x 与y =x ﹣1的图象的交点坐标为(a ,B ),则11a b-的值为 5.如图,Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线ky x=与直线y x m =-+•在第二象限的交点,AB 垂直x 轴于B ,且S △ABO =32,则反比例函数的解析式 . 6.若反比例函数xky =与一次函数y =3x +b 都经过点(1,4),则kb =________. 7.如图,已知A (4,a ),B (-2,-4)是一次函数y =kx +b 的图象和反比例函数y =-xm的图象的交点. (1)求反比例函数和一次函数的解祈式; (2)求△A0B 的面积.8.如图,在平面直角坐标系中,直线2k y x =+与双曲线k y x =在第一象限交于点A ,与x 轴交于点C ,AB ⊥x 轴,垂足为B ,且AOB S Λ=1.求: (1)求两个函数解析式; (2)求△ABC 的面积.(第(7)题)9.平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A,交y轴于点B 且与反比例函数图象分别交于C、D两点,过点C作CM⊥x轴于M,AO=6,BO=3,CM=5.求直线AB 的解析式和反比例函数解析式.(五)反比例函数的应用:例题讲解:例一.一个水池装水12立方米,如果从水管中每小时流出x立方米的水,经过y小时可以把水放完,那么y与x 的函数关系式是________,自变量x的取值范围是________.例二.三角形的面积为6cm2,如果它的一边为y cm,这边上的高为x cm,那么y与x之间是________函数关系,以x为自变量的函数解析式为________.例三.长方体的体积为40cm3,此长方体的底面积y(cm2)与其对应高x(cm)之间的函数关系用图象大致可以表示为下面的( ).对应练习1.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( ).(A)小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系(B)长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系(C)压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系(D)一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系2.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:体积x (ml) 100 80 60 40 20 压强y (kpa)6075100150300则可以反映y 与x 之间的关系的式子是( ). (A)y =3000x(B)y =6000x(C)xy 3000=(D)xy 6000=3.甲、乙两地间的公路长为300km ,一辆汽车从甲地去乙地,汽车在途中的平均速度为V (km/h),到达时所用的时间为t (h ),那么t 是V ________的函数,V 关于t 的函数关系式为________.4.农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房 (如图所示),则需要塑料布y (m 2)与半径R (m)的函数 关系式是(不考虑塑料埋在土里的部分)________.5.有一面积为60的梯形,其上底是下底长的三分之一,若下底长为x ,高为y ,则y 关于x 的函数关系式是( ). (A))0(45>=x x y (B))0(30>=x x y (C))0(90>=x xy (D))0(15>=x x y 6.一个长方体的体积是100cm 3,它的长是y (cm),宽是5cm ,高是x (cm). (1)写出长y (cm)关于高x (cm)的函数关系式,以及自变量x 的取值范围; (2)画出(1)中函数的图象; (3)当高是3cm 时,求长.7.一个气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p (kPa)是气体体积V (m 3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)写出这一函数的解析式;(2)当气体体积为1m 3时,气压是多少?(3)当气球内的气压大于140kPa 时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积应不小于多少?8.某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒.已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间x (分钟)成正比例,药物燃烧完后,y 与x 成反比例(如图所示),现测得药物8分钟燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克,请根据题图中所提供的信息解答下列问题:(1)药物燃烧时y 关于x 的函数关系式为________,自变量x 的取值范围是________;药物燃烧后y 关于x 的函数关系式为________.(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量小于1.6毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过________分钟后,学生才能回到教室;(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?备用练习1.反比例函数的概念(1)下列函数中,y 是x 的反比例函数的是(). A .y=3x B .C .3xy=1D .(2)下列函数中,y 是x 的反比例函数的是( ).A .B .C .D .2.图象和性质(1)已知函数是反比例函数,①若它的图象在第二、四象限内,那么k=___________. ②若y 随x 的增大而减小,那么k=___________.(2)已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限,则函数的图象位于第________象限.(3)若反比例函数经过点(,2),则一次函数的图象一定不经过第_____象限(4)已知a·b<0,点P(a,b)在反比例函数的图象上,则直线不经过的象限是().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(5)若P(2,2)和Q(m,)是反比例函数图象上的两点,则一次函数y=kx+m的图象经过().A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限(6)已知函数和(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是().A.B.C.D.3.函数的增减性(1)在反比例函数的图象上有两点,,且,则的值为().A.正数B.负数C.非正数D.非负数(2)在函数(a为常数)的图象上有三个点,,,则函数值、、的大小关系是().A.<<B.<<C.<<D.<<(3)下列四个函数中:①;②;③;④.y随x的增大而减小的函数有().A.0个B.1个C.2个D.3个(4)已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点,则当x>0时,这个反比例函数的函数值y随x的增大而(填“增大”或“减小”).4.解析式的确定(1)若与成反比例,与成正比例,则y是z的().A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.不能确定(2)若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为(2,m),则m=_____,k=________,它们的另一个交点为________.(3)已知反比例函数的图象经过点,反比例函数的图象在第二、四象限,求的值.(4)已知一次函数y=x+m与反比例函数()的图象在第一象限内的交点为P (x 0,3).①求x 0的值;②求一次函数和反比例函数的解析式.5.面积计算(1)如图,在函数的图象上有三个点A、B、C,过这三个点分别向x轴、y轴作垂线,过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、,则().A.B.C.D.第(1)题图第(2)题图(2)如图,A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点,AC//y轴,BC//x轴,△ABC的面积S,则().A.S=1 B.1<S<2C.S=2 D.S>2(3)如图,Rt△AOB的顶点A在双曲线上,且S△AOB=3,求m的值.第(3)题图第(4)题图(4)已知函数的图象和两条直线y=x,y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点,过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1,P1R1,垂足分别为Q1,R1,过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2,P2 R 2,垂足分别为Q 2,R 2,求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长,并比较它们的大小.(5)如图,正比例函数y=kx(k>0)和反比例函数的图象相交于A、C两点,过A作x轴垂线交x 轴于B,连接BC,若△ABC面积为S,则S=_________.第(5)题图第(6)题图(6)如图在Rt△ABO中,顶点A是双曲线与直线在第四象限的交点,AB⊥x轴于B且S△ABO=.①求这两个函数的解析式;②求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积.(7)如图,已知正方形OABC的面积为9,点O为坐标原点,点A、C分别在x轴、y轴上,点B在函数(k>0,x>0)的图象上,点P (m,n)是函数(k>0,x>0)的图象上任意一点,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为E、F,设矩形OEPF在正方形OABC以外的部分的面积为S.①求B点坐标和k的值;②当时,求点P的坐标;③写出S关于m的函数关系式.6.综合应用(1)若函数y=k1x(k1≠0)和函数(k2 ≠0)在同一坐标系内的图象没有公共点,则k1和k2().A.互为倒数B.符号相同C.绝对值相等D.符号相反(2)如图,一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B两点:A(,1),B(1,n).①求反比例函数和一次函数的解析式;②根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围.(3)如图所示,已知一次函数(k≠0)的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D,若OA=OB=OD=1.①求点A、B、D的坐标;②求一次函数和反比例函数的解析式.。