苏北四市高三年级摸底考试数学Ⅰ参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知全集{1,0,1,2}U =-，集合{1,2}A =-，则UA = ▲ ．2．已知复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 ▲ ．3．函数1πcos()26y x =+的最小正周期为 ▲ ．4．右图是一个算法的流程图，则输出x 的值为 ▲ ．5．某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取 ▲ 人． 6．若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为 ▲ ．7．设实数x ，y 满足0,1,21,x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥ 则32x y +的最大值为 ▲ ． 8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且23a =，416S =， 则9S 的值为 ▲ ．9．将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积 是 ▲ ．注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。

开始 结束Y x ←2，n ←1输出xn ←n +1 x ←2x +1 n ≤3N（第4题）10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，1B ，2B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右、下、上顶点，F 是椭圆C 的右焦点．若21B F AB ⊥，则椭圆C 的离心率是 ▲ ．11．若tan 2tan βα=，且2cos sin 3αβ=，则sin()αβ-的值为 ▲ ．12．已知正数a ，b 满足195a b+，则ab 的最小值为 ▲ ．13．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB ⋅的取值范围是 ▲ ．14．已知函数2()|4||2|f x x a x =-+-，[3,3]x ∈-．若()f x 的最大值是0，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 2B =，tan 3C =． （1）求角A 的大小； （2）若3c =，求b 的长．16．（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证： （1）直线1A E ∥平面1ADC ；（2）直线EF ⊥平面1ADC ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ． （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程； （2）在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．18．（本小题满分16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中90ABC BAD ∠=∠=︒，2AD DC ==km ，1BC =km ．现过边界CD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度；A B C D EA 1B 1C 1F （第16题） （第10题）（2）如图②，若F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度．19．（本小题满分16分）在数列{}n a 中，已知113a =，111233n n n a a ++=-，*n ∈N ，设n S 为{}n a 的前n 项和． （1）求证：数列{3}n n a 是等差数列； （2）求n S ；（3）是否存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：1()0f a≤； （3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值．21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，过E 作BA 的延长线的垂线，垂足为F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅．（第18题图①）（第18题图②）(第21－A 题)B ．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）求椭圆22:194x yC +=在矩阵103102⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 对应的变换作用下所得的曲线的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为πsin()33ρθ+=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设0c >，|1|3cx -<，|1|3c y -<，求证：|23|x y c +-<．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒， 4AD AP ==，2AB BC ==，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN λ=，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，求λ的值．23．（本小题满分10分）设*n ∈N ，()372n n f n =+-． （1）求(1)f ，(2)f ，(3)f 的值；（2）证明：对任意正整数n ，()f n 是8的倍数．参考答案与评分标准一、填空题1．{0,1} 2．1 3．4π 4．23 5．8 6．357．3 8．81 9．16π3 1011．13- 12．36 13．[9,0]- 14．(,5]-∞-二、解答题 15．（1）因为tan 2B =，tan 3C =，πA B C ++=，所以tan tan[π()]tan()A B C B C =-+=-+…………………………………2分tan tan 1tan tan B CB C +=-- 231123+=-=-⨯，………………………………4分 又(0,π)A ∈，所以π4A =．……………………………………………………6分（2）因为sin tan 2cos BB B==，且22sin cos 1B B +=，又(0,π)B ∈，所以sin B =，……………………………………………8分同理可得，sin 10C = …………………………………………………10分由正弦定理，得3sin sin c B b C ===．……………………………14分 16．（1）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =， 所以四边形1B BDE 是平行四边形，…………………2分 所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =， 所以四边形1AA ED 是平行四边形，…………………4分所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面， 所以直线1A E ∥平面1ADC ．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，……………9分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，A BCD EA 1B 1C 1 F（第16题）所以AD ⊥平面11B BCC ，又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥，……………………………………11分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ．…………………………………………………14分17．（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为l AB ∥，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=， ……………………………………………2分则圆心C 到直线l的距离为d =．…………………………4分因为MN AB ===而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+， ……………………………6分 解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．…………………………………8分 （2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=， ………………………………10分因为|22|22-<+，……………………………………12分 所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．…………………………………………………………14分 18．（1）因为2AD DC ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒，所以AB 2分取AB 中点G ，则四边形BCEF 的面积为1EFG ABCD BCEG S S S =+梯形梯△形， 即112)22⨯+1313)22222GF =⨯++⨯，解得GF =6分所以EF =(km)．故灌溉水管EF．……………………8分 （2）设DE a =，DF b =，在ABC △中，2CA所以在ADC △中，2AD DC CA ===， 所以60ADC ∠=︒， 所以DEF △的面积为1sin 602DEF S ab =︒△， 又ABCDS 梯形=，即3ab =．……………………12分 在ADC △中，由余弦定理，得EF == 当且仅当a b ==时，取“=”．（第18题图①）（第18题图②）故灌溉水管EFkm ．……………………………………16分19．（1）证明：因为111233n n n a a ++=-，所以11332n n n n a a ++-=-，…………………2分 又因为113a =，所以113=1a ⋅， 所以{3}nn a 是首项为1，公差为2-的等差数列． …………………………4分（2）由（1）知31(1)(2)32n n a n n =+-⋅-=-，所以1(32)()3n n a n =-，………6分所以12311111()(1)()(3)()(32)()3333n n S n =⋅+-⋅+-⋅++-⋅…，所以23+1111111()(1)()(52)()+(32)()33333n n n S n n =⋅+-⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅ ，两式相减得2312111112[()()()](32)()333333n n n S n +=-++⋯+--⋅1111()11132[](23)()139313n n n -+-=-⨯+-⋅-112()3n n +=⋅， 所以3n n nS =．…………………………………………………………………10分（3）假设存在正整数p ，q ，r ()p q r <<，使,,p q r S S S 成等差数列， 则2q p r S S S =+，即2333q p rq p r =+． 由于当2n ≥时，()132()03n n a n =-<，所以数列{}n S 单调递减．又p q <，所以1p q -≤且q 至少为2，所以1133p q p q --≥， ………………12分1123333q q q q q q ----=．①当3q ≥时，112333p q q p q q --≥≥，又03r r>，所以2333p r q p r q+>，等式不成立．…………………………………………14分②当2q =时，1p =，所以41933r r=+，所以139r r =，所以3r =({}n S 单调递减，解唯一确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1，2，3． ………………………………16分20．（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，……………2分所以'(1)1f =-，又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=．…………4分（2）因为111()ln 1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1xg x x x-=-=， …………………………………………………6分令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以111()ln 10f a a a =-+≤． (8)分（3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<， 所以()f x 在上单调增，在)+∞上单调减． 所以()f x f ≤．………………………………………………10分 设0x =()f x只有1个零点，而(1)0f =，所以1是函数()f x 的唯一零点．当01x =时，()(1)0f x f =≤，()f x 有且只有1个零点，1=，解得1a =．…………………………………………12分 下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一．若01x >，则0()(1)0f x f >=1>，即01a <<，则11a>． 由（2）知，1()0f a<，又函数()f x 在以0x和1a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在0x 和1a 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意；若01x <，则0()(1)0f x f >=1<，即1a >，则101a<<． 同理可得，在1a和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意．因此01x =，所以a 的值为1．…………………………………………………16分21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．证明：连结AD ，因为AB 为圆O 的直径，所以90ADB ∠=︒，又EF AB ⊥，90AFE ∠=︒， 则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，…………………………5分 又ABC △∽AEF △，即AB AF AE AC ⋅=⋅，所以BE BD AE AC BA BFAB AF ⋅-⋅=⋅-⋅()AB BF AF =⋅-2AB =．………… 10分(第21－A 题)B ．设椭圆C 上的点11(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ，则11111103311022x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，………………………………………………5分 则113,2,x x y y =⎧⎨=⎩ 代入椭圆方程22194x y +=，得221x y +=，所以所求曲线的方程为221x y +=．……………………………………………10分 C ．由πsin()33ρθ+=得1sin cos 32ρθθ+=，…………………………………5分 又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C60y +-=．…………………………………10分D ．因为|1|3c x -<，所以2|22|3c x -<， 故|23||221|x y x y +-=-+-………………………………………………………5分|22||1|x y -+-≤ 233c cc <+=， 故|23|x y c +-<．………………………………………………………………10分22．（1）因为PA ⊥平面ABCD ，且,AB AD ⊂平面ABCD所以PA AB ⊥，PA AD ⊥， 又因为90BAD ∠=︒，所以,,PA AB AD 分别以,,AB AD AP 为,,x y z 则由224AD AB BC ===，4PA =可得(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，P 又因为M 为PC 的中点，所以(1,1,2)M ．所以(1,1,2)BM =-，(0,0,4)AP =，…………2所以cos ,||||AP BMAP BM AP BM ⋅〈〉===， 所以异面直线AP ，BM ．…………………………5分 （2）因为AN λ=，所以(0,,0)N λ(04)λ≤≤，则(1,1,2)MN λ=---，(0,2,0)BC =，(2,0,4)PB =-，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,240.y x z =⎧⎨-=⎩ 令2x =，解得0y =，1z =，所以(2,0,1)=m 是平面PBC 的一个法向量．……………………………7分因为直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为45，所以||4|cos ,|5||||MN MN MN ⋅〈〉===m m m ，解得[]10,4λ=∈，所以λ的值为1．……………………………………………………………10分23．（1）代入求出(1)8f =，(2)56f =，(3)368f =．……………………………3分 （2）①当1n =时，(1)8f =是8的倍数，命题成立．…………………………4分 ②假设当n k =时命题成立，即()372k k f k =+-是8的倍数，那么当1n k =+时，11(1)3723(372)4(71)k k k k k f k +++=+-=+-++， 因为71k +是偶数，所以4(71)k +是8的倍数，又由归纳假设知3(372)k k +-是8的倍数， 所以(1)f k +是8的倍数，所以当1n k =+时，命题也成立．根据①②知命题对任意*n ∈N 成立．…………………………………………10分。