安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题 理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．设复数z 满足3zi i =-+，则虛部是（ ） A ．3iB ．3i -C ．3D ．-32．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，则三个数()3log 13a f =-，2π2cos 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.62c f =的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>3．若实数x ，y 满足约束条件101010x y x y x -+≥⎧⎪++≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+（ ）A ．既有最大值也有最小值B ．有最大值，但无最小值C ．有最小值，但无最大值D ．既无最大值也无最小值4．已知函数37()e e x xx f x -=+在[-6，6]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．现学校想了解同学们对假期学习方式的满意程度，收集如图1所示的数据；教务处通过分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（ ）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人6．已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（ ）A ．9π782-B ．9π784-C ．78π-D ．9π452-7．若6(1)2x x x ⎛+ ⎝展开式中的常数项是60，则实数a 的值为（ ）A ．±3B ．±2C ．3D ．28．已知三个不同的平面α、β、γ，两条不同的直线m 、n ，则下列结论正确的是（ ） A ．αβ⊥，//m α，n β⊥是m n ⊥的充分条件 B ．γ与α，β所成的锐二面角相等是//αβ的充要条件 C ．αβ⊥，m α⊥，n β⊥是m n ⊥的充分条件D ．α内距离为d 的两条平行线在β内的射影仍是距离为d 的两条平行线是//αβ的充要条件9．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形（杨辉三角）解释了二项和的乘方规律。

右边的数字三角形可以看作当n 依次取0，1，2，3，…时()na b +展开式的二项式系数，相邻两斜线间各数的和组成数列{}n a ．例11a =，211a =+，312a =+，…，设数列{}n a 的前项和为n S .如果20222a a =+，则2020S =（ ）A ．aB ．2a +C ．2aD ．24a +10．已知函数2()cos sin 2f x x x =，若存在实数M ，对任意12,R x x ∈都有()()12f x f x M -≤成立．则M 的最小值为（ ）A 33B 3C 33D 2311．已知抛物线C ：24x y =，直线1l 、2l 与抛物线C 分别交于M ，N 和M ，P 两点，其中2l 过焦点F ，MR RN =，令(),R R R x y ，若1R y MN =-，则MFN ∠的最大值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π212．已知函数()()()ln f x x f x x '=+，且()f x 在(0,)+∞上单调递减，则1e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的取值范围为（ ）A ．1,e ⎡-+∞⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．[)1,-+∞二、填空题：13．已知非零向量a ，b 满足4b a =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________.14．已知P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点（非顶点），1F 、2F 分别为双曲线的左右焦点，点M 为12PF F △的内心，若121222MPF MPF MF F S S S -=△△△，则该双曲线的离心率为________. 15．经过班级同学初选后，将从5名男生和3名女生中选出4人分别担任班长、学习委员、劳动委员，文艺委员．其中男生甲不适合担任学习委员，女生乙不适合担任劳动委员现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选。

则安排方法种数为________.16．在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，1PA AB ==，2BC =，2BAC π∠≥，M 是线段BC 上的动点，记直线PM 与平面ABC 所成的角为θ，若tan θ的最大值为233，E 为线段AC 的中点，过点E 作三棱锥P ABC -外接球的截面，则该截面面积的取值范围为________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =-+． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）已知ABC △的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中7c =，若锐角C 满足()2f C =，且40ab =，求sin sin A B +的值．18．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2312a a +=，416a =，2log n n b a =． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求()*(1)2nn nn a c n S -=∈N 的前n 项和n T . 19．如图，已知圆O 的直径AB 长为2，上半圆圆弧上有一点C ，60COB ∠=︒，点P 是弧AC 上的动点，点D 是下半圆弧的中点，现以AB 为折线，将下半圆所在的平面折成直二面角，连接PO 、PD 、CD ． （1）当//AB PCD 平面时，求PC 的长；（2）当三棱锥P COD -体积最大时，求二面角D PC O --的余弦值．20．加大对未成年人保护力度我校为宣传未成年保护法，特举行一次未成年人保护法知识竞赛，两人组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3题，被称为“优秀小组”，已知甲乙两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分为1p ，2p ．（1）若134p =，223p =，则在第一轮竞赛中，求他们获“优秀小组”的概率； （2）若1265p p +=，且每轮比赛互不影响，则在竞赛中甲乙同学要想获得“优秀小组”次数为9次，则理论上至少要进行多少轮竞赛才行?并求此时1p ，2p 的值.21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭且离心率为12.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1A ，2A 分别为C 的左右顶点，G 为直线1x =上的任意一点，直线1GA ，2GA 分别与C 相交于M 、N 两点，连接MN ，试证明直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.22．已知函数2()2ln f x x x ax =+-． （1）讨论函数()f x 的单调性：（2）令函数()()ln()g x f x ax =-，对于任意()1,3a ∈时，总存在[]1,3x ∈使()()24g x k a <-+成立，求实数k 的取值范围.安徽省江淮十校2021届高三第一次联考数学试题参考答案（理科）一、选择题：1．D 详解：∵z 满足3zi i =-+，∴23(3)()13i i i z i i i -+-+-===+-，所以13z i =-，所以z 虚部是-3，故答案选D.2．B 详解：3332log 9log 13log 273=<<=；202cos2cos 153ππ<<=，0.611222<<=，即：0.6322cos122log 135π<<<<，∵()f x 为偶函数，∴()()33log 13log 13a f f =-=，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴()()0.632log 1322cos5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭，即a c b >>，本题正确选项B. 3．B 详解：作出可行域，如图所示：由图可知，当直线2z x y =+经过点()1,0M -时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大，因为直线2z x y =+在y 轴上的截距无最小值，所以z 有最大值.4．B 详解：37()x xx f x e e -=+，因为()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，排除选项C ， 当0x >时()0f x >，排除选项D ，2456(2)1e f e =+，()4844841e f e =+，()()242864484856e 448e 56e (2)(4)e 18e 8e 0e 1e 1e 1e 1f f ⎡⎤-=-=+--<⎣⎦++++，即()()24f f <，答案选择B 5．B 详解：选项A ，样本容量为60004%240⨯=，该选项正确；选项B ，根据题意得自主学习的满意率60030012500.3586000++=，错误，选项C ，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对方式二满意人数约为150020%300⨯=，该选项正确；选项D ，样本中对方式一满意人数为20004%30%24⨯⨯=，该选项正确.故选B.6．B 详解：由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示. ∴27π9π933235478π424S =⨯⨯+⨯⨯-+=-.故答案为：978π4-.7．B 详解：因为62x x ⎛ ⎝的通项公式为 63662166(1)(1)22rrr rr r x r r x T C C a x r x ---++⎛⎫=-⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭， 若得到常数项，当()1x +收1时，令3602r -=，当()1x +取x 时，令3612r -=-，解得4r =或143r =（舍），所以4r =，因为6(1)2x x x ⎛+⋅ ⎝展开式的常数项为60，所以()4464461C 260a -+-⨯⨯⨯=，解得2a ±.故答案为：B.8．C 详解：A ．m ，n 可能平行；B ．α，β可能相交；C 正确；D ．当α，β相交且两条平行线垂直于交线时可以满足条件.9．A 详解：因为321432202120202019202220212020,,,a a a a a a a a a a a a =+=+=+=+，相加得()342022232021122020a a a a a a a a a ++=+++++++，所以202222020a a S -=，所以2020S a =.10．C 详解：因为()222222()2cos sin sin 22cos cos24cos sin 2cos cos sin f x x x x x x x x x x x '=-+=-+-()222112cos 14sin 8cos sin sin 22x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()2()cos ()sin(22)f x x x f x πππ+=+⋅+=，所以()f x 的周期为π，所以当ππ,26x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，单调递增，当ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，ππ022f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π336f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭π336f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以()()12ππ664f x f x f f ⎛⎫⎛⎫-≤--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即M ≥M11．C 详解：()11(11)122R M N y y y MF NF MN =+=-+-=-，2MF NF MN +=.由余弦定理可得()2222236||||||111cos 2||||84842MF NF MF NF MF NF MN MFN MF NF MF NFMF NF+⋅+-∠=-≥-=⋅⋅⋅，当且仅当MF NF =时等号成立，故MFN ∠的最大值为π3.12．B 解析：因为()()ln xf x f x x x '-=-，22()()()ln ln f x xf x f x x xx x x x x ''--⎛⎫===- ⎪⎝⎭， 又()()ln f x f x x x '=-，ln 1ln 1()x x f x x x x +''=--=-，所以()f x '在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单增，1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单减， 即11()10e e f x f ef ⎛⎫⎛⎫''≤=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11e ef ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭. 二、填空题： 13．π3详解：∵(2)a a b ⊥-，∴(2)0a a b ⋅-=，∴220a a b -⋅=，即22cos ,0a b a b -〈〉=.∵4b a =，∴22124cos ,2a a a b -〈〉=，∴π,3a b 〈〉=.14．2 解析：由题意知，M 为12PF F △的内心，设12PF F △内切圆半径为r ， 因为12122MPF MPF MF F S S S -=△△△，所以12121122PF rPF r F r -=即12122PF PF a F -===，所以e =15．930 详解：岩甲乙都入选，则从其余6人中选出2人，有26C 15=种，男生甲不适合担任学习委员，女生乙不适合担任劳动委员，则有432432A 2A A 14-+=种，故共有1514 210⨯=种；若甲不入选，乙入选，则从其余6人中选出3人，有36C 20=种，女生乙不适合担任劳动委员，则有1333C A 18=种，故共有2018360⨯=种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出4人，有46C 15=种，再全排，有44A 24=种，故共有1524360⨯=种，综上所述，共有210360360930++=，故答案为930. 16．3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦详解：如图，作AM BC ⊥，连接PM ，由题意可得2AM =，所以12BM =，又2BC =，所以32MC =，3AC =，所以π2BAC ∠=.过BC 中点O '作OO ABC '⊥平面，连接OE ，此时OE AC ⊥，以AC 为直径的截面为最小截面，经过球心O 的截面为最大截面.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。