第二章测试题(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝－28yB ．y 2＝28xC ．y 2＝－28xD ．x 2＝28y解析 由条件可知p2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x .答案 B2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1解析 依题意知c ＝1，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案 D3．双曲线x 2－y2m ＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2解析 由e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝1＋m1＝1＋m >2，m >1.答案 C4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0)B ．(52，332)或(52，－332)C ．(0,3)或(0，－3)D ．(532，32)或(－532，32)解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值， 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1D.x 227－y 29＝1解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．依题意知⎩⎨⎧ba ＝3，c ＝6，c 2＝a 2＋b 2，⇒a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1. 答案 B6．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， ∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号， ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D 项，故选B. 答案 B7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4或－4B ．－2C ．4D ．2或－2解析 由题可知，p2－(－2)＝4，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为x 2＝－8y . 将(m ，－2)代入可得m 2＝16， ∴m ＝±4.故选A. 答案 A8．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1D.x 25＋y 24＝1解析 依题意可设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－b 2a ，又|AB |＝b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝2b 2a ＝3，∴2b 2＝3a .又a 2－b 2＝c 2＝1，∴a ＝2，b ＝ 3.故C 的方程为x 24＋y 23＝1.答案 C9．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)解析 直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案 B10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12 B.22 C.32D.34解析 由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ， 又由d 1,2c ，d 2成等差数列， ∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12. 答案 A11．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12 B ．x 2＝2y －116 C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －2解析 由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0,1)， 设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1.答案 C12．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(1,3]D ．(1,2]解析 |PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1|＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ，当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号．又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a . ∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3] 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．解析 由题意知b 2＝12，解得b ＝1. 答案 114．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为________．解析 若焦点在x 轴上，则a ＝4， 由e ＝32，可得c ＝23，∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4， 椭圆方程为x 216＋y 24＝1； 若焦点在y 轴上，则b ＝4， 由e ＝32，可得c a ＝32，∴c 2＝34a 2. 又a 2－c 2＝b 2，∴14a 2＝16，a 2＝64.∴椭圆方程为x 216＋y 264＝1. 答案 x 216＋y 264＝1，或x 216＋y 24＝115．设F 1和F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积为________．解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧||PF 1|－|PF 2||＝4，①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，②)②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2.∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案 116．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析 如图，设双曲线一个焦点为F ， 则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°.∴c ＝2a ，∴e ＝ca ＝2. 答案 2三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.解 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． ∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3.∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22. ∴|P 1P 2|＝1＋1922－4×(－22)＝22303.18．(12分)双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，点P (3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．解 由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0,5)，可设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1(a >5)，双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1. ∵点P (3,4)在椭圆上，∴16a 2＋9a 2－25＝1.解得a 2＝40或a 2＝10(舍去)．∴椭圆的标准方程为y 240＋x 215＝1.又过点P (3,4)的双曲线的渐近线方程为y ＝b25－b2x ，即4＝b 25－b2×3，∴b 2＝16.∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. 19．(12分)已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0＜a ＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，说明理由．解 设存在点P (x ，y )满足题设条件，则 |AP |2＝(x －a )2＋y 2.又∵x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4(1－x 29)． ∴|AP |2＝(x －a )2＋4(1－x29)＝59(x －95a )2＋4－45a 2.∵|x |≤3，当|95a |≤3，又0<a <3即0＜a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2. 依题意，得4－45a 2＝1，∴a ＝±152∉⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53，当95a ＞3，即53＜a ＜3.此时x ＝3，|AP |2取最小值(3－a )2. 依题意，得(3－a )2＝1，∴a ＝2. 此时P 点的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)． 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .(1)若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A 与AF 垂直的直线交x 轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．解 (1)如图，设直线l 与圆O 相切于E 点，椭圆C 的右顶点为D ，则由题意易知，△OED 为直角三角形， 且|OE |＝b ，|OD |＝a ，∠ODE ＝π3，∴|ED |＝|OD |2－|OE |2＝c (c 为椭圆C 的半焦距)．∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.(2)由(1)知，c a ＝12，∴可设a ＝2m (m >0)，则c ＝m ，b ＝3m ，∴椭圆C 的方程为x 24m 2＋y 23m 2＝1.∴A (0，3m )，∴|AF |＝2m .直线AF 的斜率k AF ＝3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △AFB 中，|FB |＝|AF |cos ∠AFB＝4m ， ∴B (3m,0)，设斜边FB 的中点为Q ，则Q (m,0)，∵△AFB 为直角三角形，∴过A ，B ，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点Q ，且半径为2m ，∵圆Q 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切， ∴|m ＋3|1＋3＝2m . ∵m 是大于0的常数，∴m ＝1.故所求的椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，且椭圆C 上的点到点Q (0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上，是否存在点M (m ，n )，使得直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于不同的两点A 、B ，且△OAB 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．解 (1)由e ＝ 23＝c a ，得a 2＝32c 2.又a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝3b 2.故椭圆的方程为x 2＋3y 2＝3b 2.又椭圆上的点P (x ，y )到点Q (0,2)的距离d ＝(x －0)2＋(y －2)2＝3b 2－3y 2＋(y －2)2 ＝3b 2＋6－2(y ＋1)2∴当y ＝－1时，有3b 2＋6＝3，解得b ＝1.∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)S △AOB ＝12|OA |·|OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ，当∠AOB ＝90°，S △AOB 取最大值12，此时点O 到直线l 距离d ＝1m 2＋n 2＝22， ∴m 2＋n 2＝2.又∵m 23＋n 2＝1，解得：m 2＝32，n 2＝12. ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22 或⎝⎛⎭⎪⎫－62，－22. 故存在点M ，使△AOB 的面积为12.22．(12分)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值． 解 (1)∵c a ＝63，且c ＝2，∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)，由⎩⎨⎧ y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±3(1－t 2)，∴圆P 的半径为3(1－t 2).∴3(1－t 2)＝|t |，解得t ＝±32.∴点P 的坐标是(0，±32)．(3)由(2)知，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝3(1－t 2)．∵点Q (x ，y )在圆P 上，∴y ＝t ±3(1－t 2)－x 2≤t ＋3(1－t 2).设t ＝cos θ，θ∈(0，π)，则t ＋3(1－t 2)＝cos θ＋3sin θ＝2sin(θ＋π6)，当θ＝π3，即t ＝12，且x ＝0，y 取最大值2.。