冀教版九年级数学上册_第26章_解直角三角形_单元检测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt ABC 中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A 的正弦值和正切值（ ） A ．都缩小12 B ．都扩大2倍 C ．都没有变化 D ．不能确定 2．sin60°=（ ）A ．12B ．2C ．1D 3．已知α、β都是锐角，且sin αsin β<，则下列关系中，正确的是（ ）A ．αβ>B ．tan αtan β>C ．cos αcos β>D ．αβ= 4．如果α是锐角，则下列成立的是（ ）A ．sin αcos α1+=B ．sin αcos α1+>C ．sin αcos α1+< D ．sin αcos α1+≤5．如图，在△ABC 中，cos B ＝2，sin C ＝35，AC ＝5，则△ABC 的面积是( )A ． 212B ．12C ．14D ．216．如图，P 是α∠的边OA 上一点，且点P 的坐标为()3,4，则cos α(= )A ．35B ．45C ．34D ．437．小明()M 和小丽()N 两人一前一后放风筝，结果风筝在空中E 处纠缠在一起（如示意图）．若ENF 45∠=，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，∠的正切值是（）则MA．2B．2C1D18．温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A的时间会持续多长？（）A．5 B．6 C．8 D．109．一人乘雪橇沿坡度为1S（米）与时间t（秒）之间的关系为S=10t+2t2，若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A．72米B．36米C．D．米10．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30，再向电视塔方向前进120米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．B．61C．1D．121二、填空题11．求值：22+=________．sin60cos6012．如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得北偏东68.7反向有小岛C，继续前进60海里到达B 处，此时测得小岛C 在船的北偏东26.5方向，则船继续向东航行________海里，离小岛最近（精确到0.1海里，参考数据tan21.30.39≈，tan63.5 2.01≈）．13．在△ABC 中，∠C =90∘，cosB =23，则a ﹕b ﹕c 为________． 14．在Rt ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=，那么cosB 的值是________． 15．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3sin 5A =，那么tanB =________． 16．如示意图，若斜坡CA 的坡度i 1:3=，ABC 90∠=，AB 23=米，则BC 的长为________米．17．如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38 m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为______m ．(结果精确到0.1 m ，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19) .18．如图，小亮在太阳光线与地面成30角时，测得树AB 在地面上的影长BC 18m =，则树高AB 约为________m （结果保留根号）19．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC//AD ，迎水坡AB 长10m ，且4tan BAE 3∠=，则河堤的高BE 为________．20．如图，一艘轮船以20海里/小时速度从南向北航行，当航行至A 处时，测得小岛C 在轮船的北偏东45度的方向处，航行一段时间后到达B 处，此时测得小岛C 在轮船的南偏东60度的方向处．若CB 40=海里，则轮船航行的时间为________．三、解答题214cos302sin60tan45-． 22．如图所示,在ABC 中,CD AB ⊥,4sin 5A =,13AB =,12CD =,求AD 的长和tan B 的值．23．某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC BC 8m ==，A 30∠=，CD AB ⊥于点D ．（1）求ACB ∠的大小；（2）求AB 的长度．24．如图，有一电线杆AB 直立于地面，它的影子正好射在地面BC 段和与地面成45角的土坡CD 上，已知BAD 60∠=，BC 8=米，CD =米，求电线杆AB 的高．（结果保留3 1.732≈）25．轮船沿着正北方向航行，在A处看到某目标岛屿C在北偏西30方向，继续向南航行40海里到B处测得这个岛屿方向变成了北偏西45，若轮船保持航行的方向，则它与目标岛屿最近距离是多少？（结果精确到1海里， 1.732==）26．已知：如图，在山脚的C处测得山顶A的仰角为53，沿着坡度为30的斜坡前进400米到D处（即DCB30∠=，CD400=米），测得A的仰角为63，求此山的高度AB．（答案保留根号）（参考数据：4sin535≈，3cos535≈，4tan533≈，12sin6313≈，5cos6313≈，12tan635≈）27．酷爱写诗的陈老师，某日到南山采风，结束后步行下山回家，发现下山路AB为一条坡度为i5:12=的斜坡，在斜坡下端B处有一座塔，陈老师在A处测得塔顶P的俯角为14，沿斜坡前行65米到达B处，请根据以上条件求塔的高度BP．（参考数据：tan140.25≈，sin140.24≈，cos140.97≈）28．中国派遣三艘海监船在南海保护中国渔民不受菲律宾的侵犯．在雷达显示图上，标明了三艘海监船的坐标为()O 0,0、()B 80,0、()C 80,60，（单位：海里）三艘海监船安装有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为r 的圆形区域（只考虑在海平面上的探测）．（1）若在三艘海监船组成的OBC 区域内没有探测盲点，则雷达的有效探测半径r 至少为________海里；（2）某时刻海面上出现一艘菲律宾海警船A ，在海监船C 测得点A 位于南偏东60方向上，同时在海监船B 测得A 位于北偏东45方向上，海警船A 正以每小时20海里的速度向正西方向移动，我海监船B 立刻向北偏东15方向运动进行拦截，问我海监船B 至少以多少速度才能在此方向上拦截到菲律宾海警船A ？参考答案1．C【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可直接得到答案.【详解】解：根据锐角三角函数的概念可知，若各边长都扩大2倍，锐角A的大小不变，则sinA，tanA 的值不变.故选C.【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的概念，正确理解锐角三角函数的概念是解决问题的关键. 2．D【解析】根据特殊三角函数值即可得sin60° D.3．C【解析】【分析】得到α＜β，然后再根据锐角三角函数的增减先根据锐角三角函数的增减性由sinαsinβ性进行判断即可.【详解】解：∵α、β都是锐角，且sinα<sinβ，∴α<β，∴tanα<tanβ，cosα>cosβ，所以A、B、D选项都错误，C选项是正确的.故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：当0＜α＜90°，sinα随α的增大而增大；cosα随α的增大而减小；tanα随α的增大而增大.4．B【分析】根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，三角形的两边之和大于第三边，可得答案.【详解】解：∵a、b是直角边，c是斜边，∴sinα+cosα=ac+bc=a bc+，∵a+b>c，∴a bc+>1，∴sinαcosα1+>.故选B.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，利用正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边是解题关键.5．A【分析】根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．【详解】解：过点A作AD⊥BC，∵△ABC中，cosB=2，sinC=35，AC=5，∴cosB=2=BD AB，∴∠B=45°，∵sinC=35=ADAC=5AD，∴AD=3，∴，∴BD=3，则△ABC的面积是：12×AD×BC=12×3×（3+4）=212．故选A．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD⊥BC，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．6．A【解析】【分析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，那么在直角△OPQ中，OQ=3，PQ=4，由勾股定理可得OP=5，再由余弦函数的定义得出cosα的值.【详解】解：过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ=3，PQ=4，在直角△OPQ中，由勾股定理，可得OP=5，∴cosα=OQOP=35.故选A.【点睛】本题主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机地和图形结合起来求解，并熟练运用三角函数求解.7．D【解析】【分析】首先过点E 作EA ⊥MF 于点A ，得出MN=EN ，AE=NA ，sin45º=AE NE，进而将各边长用NE 表示得出即可.【详解】解：过点E 作EA ⊥MF 于点A ，∵∠ENF=45º，小丽、小明之间的距离与小丽已用的放风筝线的长度相等，∴MN=EN ，AE=NA ，∵sin45º=AE NE， ∴AE=2NE ， ∴tan ∠M=AE MA =AE MN NA +NE1， ∴∠M−1.故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用.8．D【解析】试题分析：过点A 作AD ⊥BC 于D ，由题意得AB=300，∠ABD ＝30°，∴AD =150（km ）， 温州市点A 受到台风严重影响设风台中心距A 点200km 处，刚好处在BC 上的E ，F 两点 则在Rt △ADE 中，AE ＝200，AD ＝150 ∴km ， ∴，则÷=10h ，故选D ． 9．B【分析】求滑下的距离，设出下降的高度，表示出水平高度，利用勾股定理即可求解.当4t =时，210272s t t =+=，设此人下降的高度为x 米，过斜坡顶点向地面作垂线，在直角三角形中，由勾股定理得：)22272x +=，解得36x =.故选：B .【点睛】此题主要考查了坡角问题，理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解是解题关键.10．C【分析】根据题意求出CE 的长，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的性质求出AE 的长，根据正弦的定义计算即可．【详解】由题意得，CE=DF=120m ，∠EAC=∠AEG-∠ACE=30°， ∴∠EAC=∠ECA ，∴AE=DF=120m ，∴AG=AE×sin ∠，∴AB=AG+GB=（）m ．故选C ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．11．1【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可.解：原式2+(12)2 =34+14=1.故答案为：1.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，识记是关键.12．15【解析】【分析】过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，分别在Rt △ACD 与Rt △BCD 中用式子表示CD ，从而求得BD 的值，即轮船离小岛C 最近的点D 的距离.【详解】解：过C 作AB 的垂线，交直线AB 于点D ，得到Rt △ACD 与Rt △BCD ，设CD=x 海里，∵在Rt △BCD 中，∠CBD =63.5º，tan ∠CBD=CD BD ， ∴BD=tan CBD CD ∠=x tan63.5︒， ∵在Rt △ACD 中，∠A=21.3º，tanA=CD AD ， ∴AD=tan A CD ∠=x tan21.3︒， ∴AD−BD=AB ，即x tan21.3︒−x tan63.5︒=60， 解得x=30，∴BD=30tan63.5︒≈15(海里). 故答案为：15.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.13．2：√5：3【解析】试题分析：先利用余弦的定义得到cosB=BC AB =23，则可设BC=2k ，AB=3k ，再利用勾股定理计算出AC=√AB 2−BC 2=√5k ，然后计算三角形三边的比a ：b ：c=2k:√5k ：3k=2：√5：3． 考点：解直角三角形14．45【解析】【分析】在直角△ABC 中利用勾股定理求得AB 的长，然后利用三角函数的定义求解.【详解】解：如图，在直角△ABC 中，C 90∠=，AC 3=，BC 4=，∴， ∴cosB=BC AB =45. 故答案为：45. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，可借助图形分析，确保正确率.15．43【分析】由3sin5A=可得35ac=，设3a k=，5c k=，根据勾股定理可得4b k=，再根据正切函数的定义即可求得结果．【详解】解：由3sin5A=可得35ac=，设3a k=，5c k=，则4b k==，则tan B=4433b ka k==．故答案为：43．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握锐角三角函数的定义，即可完成．16．69【解析】【分析】根据坡度i=1:3，可得出tanC=ABBC=13，继而代入数据可求出BC的长.【详解】解：斜坡CA的坡度i=1:3，∴tanC=ABBC=13，即23BC=13，解得：BC=69米.故答案为：69.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度的定义：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比.17．7.2【解析】试题分析：因为∠BDC=45°，所以BC=CD=38，因为∠ADC=50°，所以AC=tan50°×CD=45.22，所以AB=AC-BC≈7．2．考点：解直角三角形18．【解析】【分析】利用所给30º角的正切函数求解即可．【详解】解：由题意可知：∠B=90º，∴tanC=tan30º=AB BC，∴AB=tan30º×BC=3×故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数定义的应用. 19．8【分析】根据tan∠BAE=43得出BE，AE的关系，根据勾股定理表示出AB，再根据AB=10，从而得出BE的长．【详解】解；∵tan∠BAE=43=BEAE，∴假设BE=4x，AE=3x，∴AB=5x，∵迎水坡AB长10m，∴5x=10，解得：x=2，∴BE=8．故答案为8．【点睛】此题主要考查了坡角的定义以及解直角三角形，根据坡角定义表示出AB的长度是解决问题的关键．20．1+【详解】如图，作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠A=45°，∠B=60°，在Rt△BDC中，∵BC=40，∴BD=20海里，CD=在Rt△ADC中，∵∠A=45°，∴CD=AD=∴AB=BD+AD=（20+∵轮船的航行速度为20海里/小时，∴航行时间为（20+÷20=（1+故答案为（1+考点：解直角三角形的应用-方向角问题．21．-1【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入后进行二次根式的运算即可. 【详解】解：原式43=12=-1=-.故答案为：-1.【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值.22．9,3【分析】 由4sin 5A =，CD=12，根据三角函数可得AC=15，根据勾股定理可得AD=9，则BD=4，再根据正切的定义求出tanB 的值．【详解】解： ∵CD AB ⊥，∴90CDA ∠= ∵4sin 5CD A AC ==，12CD =， ∴15AC =9AD =4BD = ∴tan 3CD B BD==23．（1）120°；（2）【详解】解：（1）30AC BC A =∠=︒，，30A B ∴∠=∠=︒180A B ACB ∠+∠+∠=︒ACB ∴∠=180︒-30-30=120︒（2）AC BC CD AB =⊥，2AB AD ∴=在Rt ADC 中，308A AC ∠=︒=，．·cos 8AD AC A ∴=== )2m AB AD ∴==24．7.77米【解析】【分析】构造∠B 为直角，∠A 为一内角的直角三角形，由CD 长易得CE ，DE 长，在直角三角形DEF 中利用30°的正切值可求得EF 的长，则可求得线段BF 的长，在直角三角形ABF 中利用30°的正切值可求得电线杆AB 的高.【详解】解：延长AD 交BE 的延长线于点F ，则F 30∠=，∵DCE 45∠=，DE CF ⊥，CD =∴CE DE 2==，在直角三角形DEF 中，DE EF 2tan30==米，∴(BF BC CE EF 10=++=+米， 在直角三角形ABF 中，10AB BF tan3027.773=⨯=+≈米. 答：电线杆AB 的高约为7.77米.故答案为：7.77米.【点睛】 把四边形的问题转换为特殊三角形利用相应的锐角三角函数知识进行解决是常用的解决问题的方法.25．它与目标岛屿最近距离约为55海里【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 延长线于D ．则Rt △CBD 和Rt △ACD 有公共边CD ，在两个直角三角形中，利用三角函数即可用CD 表示出AD 与BD ，根据AB=AD-BD 即可列方程，从而求得CD 的长，即为所求.【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB 延长线于D ，∵在Rt △BCD 中，∠CBD=45º，∴Rt △BCD 是等腰直角三角形，∴CD=BD.∵在Rt △ACD 中，∠CAD=30º，∴AD=CD tan30︒∵AB=40海里，AB=AD−BD ，∴CD−CD ，则+1)≈55(海里).答：它与目标岛屿最近距离约为55海里.故答案为：55海里.【点睛】本题主要考查了三角形的计算，一般的三角形可以通过作高线转化为解直角三角形的计算，计算时首先计算直角三角形的公共边是常用的思路.26．此山的高度AB 为()250米【解析】【分析】首先根据题意分析图形，作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥BC 于F ，构造两个直角三角形，分别求解可得DF 与AE 的值，再利用图形关系，进而可求出答案．【详解】解答：如图，作DE ⊥AB 于E ，作DF ⊥BC 于F ，∵在Rt△CDF中，∠DCF=30º，CD=400米，∴DF=CD⋅sin30º=12×400=200(米)，CF=CD⋅cos30º米).∵在Rt△ADE中，∠ADE=63º，设DE=x米，∴AE=tan63º⋅x=125x(米).在矩形DFBE中，BE=DF=200米，∵在Rt△ACB中，∠ACB=53º，∴tan53º=ABBC，即：4312x200+，∴−3752，∴AB=AE+BE=1253752250(米).答：此山的高度AB为250)米.故答案为：250)米.【点睛】本题主要考查解直角三角形的相关知识.27．10米.【解析】【分析】如图，过点P作PE⊥AC于点E．通过坡度的定义求得AC：BC：AB=5：12：13，则易得AC=25米，BC=60米，所以利用矩形的性质和解直角△APE求得BP的长度即可.【详解】解：如图，过点P 作PE AC ⊥于点E ．∵AB 65=米，AC 5tan ABC BC 12∠==， ∴AC:BC:AB 5:12:13=，∴AC 25=米，BC 60=米，∴PE BC 60==米，∴AE PE tan14600.2515=⋅=⨯=（米）．∴BP EC 251510==-=（米）．答：塔的高度BP 为10米.故答案为：10米.【点睛】本题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键.28．(1)50；(2) 2/小时.【解析】试题分析：（1）利用点的坐标性质得出CO 的长，进而利用直角三角形外心的性质得出答案； （2）利用方向角画出图形，进而利用锐角三角角函数关系得出即可．试题解析：（1）∵O （0，0）、B （80，0）、C （80，60），∴BO=80，BC=60，且∠OBC=90°，∴100=，当雷达在CO 的中点位置时，正好位于△BCO 外心的位置，此时在三艘海监船组成的△OBC 区域内没有探测盲点，雷达的有效探测半径r 至少为12CO=50（海里）；（2）过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设BD=x，由题意得：AD=BD=x，则tan60°=AD CD，∴∴，解得：设船和舰在点E处相遇，海监船的速度为v海里/小时，过点E作EF⊥AB于点F，设AF=y，由题意得：y，BE=2y，∴220yv，解得：，答：我海监船B至少以海里/小时速度才能在此方向上拦截到菲律宾海警船A．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．。