第2章杆件的拉伸与压缩杆件的拉伸与压缩是杆件的基本变形形式之一,也是最简单的一种变形形式。

本章主要通过对于拉伸与压缩的研究,我们将对杆件变形与内力的关系以及材料基本力学性质的研究建立初步的概念。

因此,对拉伸与压缩的研究具有重要的意义。

本章将建立拉压杆内力的概念和应力、应变的概念,讨论截面法在求解拉压杆内力中的具体应用,研究应变与应力的关系及材料拉伸压缩时的力学性能,建立强度计算的基本概念,并对超静定问题的求解作初步的了解。

§2.1引言在实际工程中,我们经常会遇到承受轴向拉伸和轴向压缩的等直杆件。

例如组成起重机塔架的杆件(图 2.l),房屋的屋盖珩架中的杆件(图 2.2)等。

如图 2.2(a)所示的房屋的屋盖椅架,是由很多等直杆件绞接而成的。

现取出拉杆和压杆来进行分析。

拉杆的计算简图如图 2.2(c),它是一根受拉的等直杆,由节点处传来的合力 P, 作用在杆件的两端,与杆的轴线重合,并且大小相等方向相反,它们使杆件产生轴向的伸长变形,我们称之为轴向拉伸;作用在压杆图 2.2(b)两端的力 P使杆产生轴向压缩变形,称为轴向压缩。

图 2.l 图 2.2 (a) 图2.2(c)(b) 拉杆和压杆通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：受力特点: 作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。

变形特点: 杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩。

§2.2 用截面法计算拉(压)杆的内力一、拉(压)杆内力的概念内力的概念:杆件在受到轴向拉力作用时,会产生变形而伸长,同时,在杆件内任何截面处,截面两侧相连部分之间产生相互作用力,它的存在保证了截面两侧部分不被分开,这种作用力就是杆件的拉伸内力。

类似地,杆件在受到轴向压力作用时,杆件内部会产生压缩内力。

二、用截面法求轴力根据 1.5 节所介绍计算杆件内力的方法即截面法的原理和一般步骤,现在研究拉(压)杆的内力计算方法。

图 2.3(a)所示拉杆,两端各作用一轴向外力P,内力的计算步骤如下:(1)在该杆任一横截面 m-m 处将其假想地切开,取其左半部分(或右半部分)为脱离体。

（2)对所取脱离体作受力分析,画出受力图。

该脱离体除原来受到的外力 P 之外,在横截面 m-m 处还受到右半部分对它的作用力。

我们已经指出,这种作用力本来是分布在整个截面上的连续分布力,在计算内力时,只考虑它们的合力。

设其合力为 N,并设其方向为背离截面方向,即设其为拉力。

则脱离体的受力分析如 图 2.3(b )的所示。

(3) 对所取脱离体列出平衡方程 由平衡条件得，由于（拉力），则，如图 2.3(b)所示。

对B 段也有:，'N =P ，'N =N 如图 2.3(c) 所示这样,即解得截面 m-m 处的内力。

上述方法也同样适用于如图 2.4 所示的受压杆的内力计算,此时将求得 N=-P,负号表明N 的实际方向与所设方向相反。

显然,为了保证脱离体的平衡,N 的作用线必然与P 的作用线重合,也就是说,内力N 是沿杆件轴线作用的。

因此我们把轴向拉 (压)杆的内力称为轴力。

轴力的符号规定:规定拉力为正的轴力,而压力则为负的轴力。

在用截面法计算轴力时,为图 2.3'N x(c)(b)(a)了避免符号上的混乱,一般总是设轴力为拉力,如果计算结果为正值,表明实际轴力为拉力,与所设相同; 如计算结果为负值,则表明实际轴力为压力。

三、轴力图1、轴力图轴向拉 (压)杆上各部分的轴力将依所受荷载而变化 , 可以用图形来直观地表明杆件上各截面处轴力的变化情况,这种图形叫做 “ 轴力图 ”。

该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小，以下通过一个例子来说明轴力图的作法。

2、举例图 2.5（a ）所示杆承受三个轴向外力。

由于在截面 B 处作用有外力,当在B 截面以左或以右用截面截开杆件,截取的脱离体受力情况是不同的。

也就是说,B 截面以左和以右的杆段轴力是不同的,因而需要分段研究。

用截面法先计算AB 段的轴力。

在 AB 段的任一横截面 1-1 处将杆切开,并选左段脱离体为研究对象,其受力情况如图 2.5(b) 所示。

由平衡方程图 2.4(b)(a)m0201==P N X -∑，由得, AB 段的轴力为 N 1=2P.对于 BC 段,仍用截面法,在任一横截面2-2 处将其切开,仍选左段研究其平衡,如图 2.5(c)所示,有0202=+=P P NX -,∑ , P N =2.实际上往往不需要先列平衡方程再求解，可直接求BC 段上的轴力,P P P N ==-22.若取2-2截面以右为脱离体,仍可得P N =2,可见整个杆上各截面处轴力不同.结论:杆任一横截面上的轴力值等于该截面任一侧的杆上所有轴向外力的代数和,与内力(方向假定)方向相反的外力为正,相同的外力为负,即iii P N ∑= 绘制轴力图: 为表达截面位置选x 轴为横坐标，相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出轴力图,如图 2.5(e),由图可知 AB 段的轴力值最大，N max =2P .[例2.1] 绘制下图阶梯杆的轴力.[解] 截面顺序从右往左排列,取截面以右的各段为隔离体.1()a()b()c （d)（e)图 2.5)(---max 在第一段P N P P P P N P P P N P N 3234233321==+==-==说明: 绘轴力图时,中间直线和坐标箭头可以去掉.四、应力的概念前面已指出,轴力是截面上分布内力的合力。

为了研究拉(压)杆横截面、斜截面上内力分布规律,需要引进应力的概念。

点的应力的概念：在外力作用下,杆件内力在截面上某点分布内力的集度称为该点的应力。

平均应力：如图2.7所示,在截面 m-m 上任取一点（K ）的周围取一微小面积A ∆, 设在∆A 上的分布内力的合力为∆P, 则∆P 与A ∆的比值AP∆∆代表A ∆内的分布内力的平均集度,称之为A ∆内的平均应力。

当A ∆趋向于零时这个平均应力的极值就是 K 处的应力p ，即dA dP A PA p ==∆∆→∆lim 0(2.1)图 2.6的极限方向；是一个矢量，方向是P p ∆.,,:aaaMP kP m N P p ）（的单位2-⋅五、横截面上的应力要确定拉(压)杆横截面上的内力分布规律,即确定横截面上各点的应力,仅靠平衡条件是不能解决的。

杆件在外力作用下不仅产生内力,而且引起变形,内力和变形之间总是相互关联的。

要研究应力分布问题 , 除应利用平衡条件外,还应考虑杆件的变形,并利用内力和变形间的关系建立必要的补充条件。

现通过试验观察拉(压)杆的变形情况:图2.8(a) 为一等截面直杆,试验前,在杆件表面等问距地画上与杆轴平行的纵线以及与杆轴垂直的横线, 然后,在杆件两端施加轴向外力P 。

由图2.8(b)可见,在施加外力之后,各纵、横线仍为直线,并分别平行和垂直于杆轴,只是横线间的距离增加,所有的原纵横线形成的正方形网格均变成大小相同的长方形。

1、 平面假设根据上述现象,对轴向拉(压)杆内部的变形作如下假设: 变形后,横截面仍保持为平面, 并且仍垂直于杆轴,只是各横截面沿杆轴作相对平移,此假设称为平面假设。

如果将杆件设想成由元数根纵向“ 纤维 ”所组成,则由平面假设可知,任意两横截面间的所有纤维的变形均相同。

由于已经假定材料是均匀的,各纵向纤维变形相同,意味着受力也相同,由此可见 ,横截面上各点处的应力相等,其方向均垂直于横截面[图2.8(c)]。

垂直于横截面的应力称为正应力或法向应力,用σ表示。

若拉(压)杆横截面积为 A, 轴力为 N, 则正应力为AN=σ (2.2)图2.7由公式(2.2)可知,正应力的符号随轴力的符号而定， 即拉应力为正 , 压应力为负。

2、由静力平衡条件确定的大小由于，所以积分得则上式中：-横截面上的正应力，-横截面上的轴力，-横截面面积。

正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。

[例2.2] 求右图中应力的最大值，设杆件的截面积为 A=400mm 2。

[解]AN maxmax σ=由公式： 又由内力图可知，kN N 50=maxkN55kN40kN25kN50σ(c)图 2.8(b)(a)所以a a P MP 662310125125101041050⨯==⨯⨯⨯=maxσ六、斜截面上的应力1. 斜截面上的总应力现在研究杆的任意斜截面上的应力。

如图 2.9(a) 所示, 用一个与横截面成α角的斜截面走假想地将杆截分为二 , 并研究左段杆图 2.9(b)的平衡。

于是得到此斜截面上的内力Pa 为:αααA p P P ==αp 为k-k 斜截面上的总应力，由平面假设(拉伸时斜截面αp 平行移动)知,斜截面上的应力也是均匀分布的,故αααA P p =而，所以AP=0σ 为拉杆横截面上的正应力。

2、斜截面上的正应力和剪应力ατPαPPαA αp (a)(b)(c)图 2.9αp将斜截面上全应力分解成正应力和剪应力，有()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+===).(αsin σαsin αcos σαsin τ.αcos σαcos σαcos σαααα4222132212100020p p ）（3、正负号规定-自x 轴逆时针转向斜截面外法线n ，为正；反之为负；-拉应力为正，压应力为负；-取保留截面内任一点为矩心，当对矩心顺时针转动时为正，反之为负4、最大应力和最小应力 1）当时，横截面，()AP==0σσmax α，2）当045±=α时，斜截面⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===︒⨯===︒︒.σ-ττσsin στ)τ(σσ-minαmax αα045004502124522121）（3）当时，纵向截面，。

结论: 对于轴向拉（压）杆，()0σσmax α=发生在横截面上；()20/σmax α=τ发生在沿顺时针转45°角的斜截面上。

同样大小的剪应力也发生在的斜面上。

对于轴向受拉杆,可能沿横截面被拉断破坏,也可能沿450的斜截面被剪切而破坏。

5、一点处的应力状态因α,ατ,σαα有关与不同,对应的是不同方位的截面上的应力,过一点所作的各截面上的全部应力即称为该点的应力状态。

对轴向拉压杆 ， 0ααστσ可由、 (横截面上的正应力)完全确定,称为单向应力状态。

四、应力集中的概念图2.10 图2.11进一步的研究表明,对于轴向拉压的杆件,只有在离力的作用点较远处截面上的应力才是均匀分布的。

而且,在实际工程中 ,不少杆件截面尺寸会有突然的改变(如连接杆件上有哪钉孔的地方, 机械零件上有小缺 口、小孔、螺纹等的地方) 。

由于截面的突然改变,使得这些截面上的应力已不再是均匀分布,而是在孔口或缺口附近局部区域处急剧地增大,但稍稍离开这个区域后应力又趋于平均,如图2.10及图 2.11 所示。