保密★启用前2020年济南市高三模拟考试数学试题一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集U R ＝，集合A ＝2{}x x x ｜＞，则UA ＝A ． []0,1B ． （0，1）C ． (],1−∞D ． 1−∞（，） 2.设复数21iz i+＝（其中i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点所在的象限为 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。
某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，则该学生的体重（单位:kg ）约为（参考数据:取重力加速度大小为210/3 1.732g m s ≈＝，） A ． 63 B ． 69 C ． 75 D ．814.已知函数y f x ＝（）的部分图象如图，则f x （）的解析式可能是A ． f x x tanx （）＝＋ B ．2f x x sin x （）＝＋ C ．122f x x sin x −（）＝ D. 1cos 2f x x x −（）＝5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。
某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。
若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为 A ． 甲 B ． 丙 C ． 戊 D ．庚6.已知抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q 。
若8AB PQ ＝，则＝ A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 87.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。
在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数”，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是A ．13 B ． 16 C ． 172D ．1144 8.已知直线0y ax b b ＝＋（＞）与曲线3y x ＝有且只有两个公共点1122,A x y B x y （，），（），其中12x x ＜，则122x x ＋＝A ． 1−B ． 0C ． 1D ．a二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中有多项 符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。
下面是2008年至2019年国际原油价格高低区间的对比图。
下列说法正确的是A.2008年原油价格波动幅度最大B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C.2013年原油价格平均值一定大于2018年原油价格平均值D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶10.已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪−<⎩下列说法正确的是A.函数y sgn x ＝（）是奇函数B.对任意的11x sgn x ＞，（ln ）＝C.函数x y e sgn x ⋅−＝（）的值域为1−∞（，）D.对任意的x R x x sgn x ∈⋅，＝（）11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1CC 上的动点（点P 不与点C ，C 1重合），过点P 作平面α分别与棱ABC ，CD 交于M ，N 两点，若CP CM CN ＝＝，则下列说法正确的是 A ．1AC α⊥平面 B ． 存在点P ，使得1AC αP 平面 C ． 存在点P ，使得点A 1到平面α的距离为53D ．用过P ，M ，D 1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形12.已知函数 cos f x sinx cosx sin x x −（）＝（＋），下列说法正确的是 A.f x （）是周期函数 B.f x （）在区间22ππ［-，］上是增函数 C.若12+=2f x f x （）（），则12)2k x x k Z π∈＋＝（ D.函数1g x f x （）＝（）＋在区间02π［，］上有且仅有1个零点三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知2233cosπα−（)=，则21sin ()26πα−−的值为______________ 14.已知双曲线222210,0x y a b a b−＝（＞＞）的渐近线与圆（22(21x y −）＋＝相切，则该双曲线的离心率为_____________ 15.已知12e e ，是夹角为3π的单位向量，若123ae be a b R ∈＋=（，），则a b ＋的最大值为__________16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点A ，B 距离之比为常数01λλλ≠（＞且）的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆。
根据以上信息，解决下面的问题:如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足3BP PE ＝.若点P 在平面ABCD 内运动，则点P 所形成的阿氏圆的半径为_____;若点P 在长方体1111ABCD A B C D −内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，则三棱锥1M B CF −的体积的最小值为_____________（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题:本题共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17.（10分）若数列n a ｛｝满足221n n a a p n N p +−∈＋＝（，为常数），则称数列n a ｛｝为等方差数列，p 为公方差。
（1）已知数列{}n n n c d x n ｛｝,｛｝，｛｝，y 分别满足2020,1,21,3nn n n n c d n x n y ＝＝＋＝＋＝，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）;（2）若数列n a ｛｝是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列2n a ｛｝的前n 项和S n18.（12分）如图，平面四边形ABCD ，点B ，C ，D 均在半径为533的圆上，且3BCD π∠＝（1）求BD 的长度；（2）若32AD ADB ABD ∠∠＝，＝，求△ABD 的面积19.（12分）如图1，平面四边形ABCD 中，2AB AC AB AC AC CD ⊥⊥＝＝，，，E 为BC 的中点，将△ACD 沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥 D ABC −. （1）证明:ADE BCD ⊥平面平面； （2）已知直线DE 与平面ABC 所成的角为4π，求二面角A BD C −−的余弦值20.（12分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评−分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物给商家计1分，中评计0分，差评计1流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2（1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2×2列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评”与物流速度有关？（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为X.该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表（表1），以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。
（Ⅰ）求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）平台规定，当积分超过10 000分时，商家会获得“诚信商家称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（365天）能否获得“诚信商家称号21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，①已知点A ），直线l :3x ＝，动点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离之比为2②已知圆C 的方程为224x y ＋＝，直线l 为圆C 的切线，记点A ,(到直线l 的距离分别为12d d ，，动点P 满足12PA d PB d ＝，＝ ③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST ＝，动点P 满足2133OP OS OT u u u r u u u r u u u r＝＋（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹方程； 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（2）记（1）中的轨迹为E ，经过点D （1，0）的直线l '交E 于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围.22.（12分）已知函数2(1)x a e x f x x−−（）=，且曲线y f x ＝（）在22f （，（））处的切线斜率为1. （1）求实数a 的值；（2）证明:01x f x 当＞时，（）＞（3）若数列n x ｛｝满足1n xn e f x +＝（），且113x ＝，证明:211n xn e −＜高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案AABCDBCB二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
题号9 10 11 12答案 AC ABD ACD AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．13；14 15．2； 16．，94（本小题第一空2分，第二空3分）．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】（1）由等方差的定义可知{}{}n n c d ，为等方差数列；.........................................................................................4分（2）因为数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以 212(1)21na n n =+-=-，.................................................................................7分所以2(121)2n n n S n +-==．................................................................................... 10分18．【解析】（1）【方法一】由题意可知，BCD △，由正弦定理22sin BD R BCD ==∠， .................................................................. 3分解得 5BD =； ............................................................................................................. 5分 【方法二】由题意可知，BCD △，设该外接圆的圆心为O ，则23BOD π∠=，OB OD ==，所以 2222cos 25BD OB OD OB OD BOD =+-⋅⋅∠=， ............................................. 3分 解得 5BD =； ............................................................................................................. 5分 （2）【方法一】在ABD △中，设ABD α∠=，α为锐角，则2ADB α∠=， 因为sin 2sin AB AD αα=，所以32sin cos sin AB ααα=， ................................................... 7分 所以 6cos AB α=，因为 2222cos AD AB BD AB BD α=+-⋅⋅，即 22936cos 2560cos αα=+-，所以 cos α，............................................9分则6cos AB α==，sin α所以 1sin 2ABD S AB BD α=⋅⋅=△．.................................................................... 12分 【方法二】在ABD △中，因为 2ADB ABD ∠=∠，所以sin sin 22sin cos ADB ABD ABD ABD ∠=∠=∠⋅∠，.........................................7分所以2222cos 22AB BD AD AB AD ABD AD AB BD+-=⋅∠=⋅⋅，因为53BD AD ==，，所以AB =， ............................................................... 9分所以 cos ABD ∠=，则 sin ABD ∠=，所以1sin 2ABD S AB BD ABD =⋅⋅∠=△ ............................................................ 12分 【方法三】在ABD △中，设ABD α∠=，α为锐角，则2ADB α∠=，3BAD α∠=π-， 因为sin 3sin BD AD αα=，即53sin 3sin αα=， ............................................................... 7分 因为 sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ααααααα=+=+2332sin cos sin 2sin 3sin 4sin αααααα=+-=-，所以 21sin 3α=，则sin α= .................................................................................. 9分则cos α=sin 2α=， 所以1sin 22ABD S AD BD α=⋅⋅=△ ................................................................. 12分19．【解析】（1）证明：在三棱锥D ABC -中，因为 CD BC CD AC ⊥⊥，，AC BC C = ， 所以 CD ⊥平面ABC ， .............................................................................................. 2分 又AE ⊂平面ABC ，所以 AE CD ⊥， 因为 AB AC =， E 为BC 中点， 所以 BC AE ⊥，又BC CD C = ，所以 AE ⊥平面BCD ， .............................................................................................. 4分 又AE ⊂平面ADE ，所以 平面ADE ⊥平面BCD ． ................................................................................... 5分 （2）【方法一】由（1）可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以 4DEC π∠=，故 1CD CE ==； ....................................................................... 6分 作EF CD 交BD 于点F ，由（1）知EA EB EF ，，两两垂直，以E 为原点，EA EB EF ，，所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建系， ................... 7分 则 (000)E ，，，(100)A ，，，(010)B ，，，(011)D -，，，易知 平面BCD 的法向量为1(100)=，，n ，.............................................................. 8分又(110)AB =- ，，，(111)AD =-- ，，， 设平面ABD 的法向量为2()x y z =，，n ， 则 2200AB x y AD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，，n n 令1x =， 解得 2(112)=，，n ， ................................................................................................. 10分 所以121212cos ||||⋅<>==，n n n n n n ，由图可知 该二面角为锐角，所以 二面角A DB C --． ............................................................. 12分 【方法二】由（1）可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以 4DEC π∠=，故 1CD CE ==； ....................................................................... 6分 由（1）知AE ⊥平面BCD ， 过E 作BD EH ⊥于H ，连接AH ， 由三垂线定理可知 AH BD ⊥，故AHE ∠为二面角A DB C --的平面角. ................................................................ 8分 由BHE △BCD △，得BE EHBD CD=， 即1EH =， 得EH =所以 530=AH ， .................................................................................................... 10分故cos EH AHE AH ∠==所以 二面角A DB C --． ............................................................. 12分 20．【解析】 （1）由题意可得好评 中评或差评 合计 物流迅速 50 5 55 物流迟缓30 15 45 合计8020100......................................................................................................................................... 2分 22(5015305)1001006.6358020554511K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，.............................................................. 3分所以 有99%的把握认为 “获得好评”与物流速度有关． ..................................... 4分 （2）（i ）由题意可知，X 的取值可能是101-，，，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.80.10.1，，， 所以 X 的分布列为X 1 0 1-P 0.8 0.1 0.1所以 10.800.1(1)0.10.7EX =⨯+⨯+-⨯=； ............................................................. 7分 （ii ）【方法一】设商家每天的成交量为Y ，则Y 的取值可能为273036，，， 所以 Y 的分布列为Y 2730 36P 0.4 0.4 0.2所以 270.4300.4360.230EY =⨯+⨯+⨯=， ........................................................... 10分 所以 商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<， ...................................... 11分 所以 该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． ............................................ 12分 【方法二】商家每天的平均成交量为(361030202720)3050⨯+⨯+⨯=， ............................... 10分所以 商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<， ...................................... 11分所以 该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． .............................................. 12分 21．【解析】 （1）若选①，设()P x y ，，根据题意， =， ................................................... 3分 整理得2214x y +=，所以 所求的轨迹方程为2214x y +=． ......................................................................... 5分若选②，设()P x y ，，直线l 与圆相切于点H ，则12||||2||4||PA PB d d OH AB +=+==>=， .................................................. 2分 由椭圆定义知 点P 的轨迹是以A B ，为焦点的椭圆， .............................................. 3分所以 24a =，2||c AB ==， 故 2a =，c =，1b =，所以 所求的轨迹方程为2214x y +=． ......................................................................... 5分若选③，设()P x y ，，(0)S x '，，(0)T y '，，则3=（*），因为 2133OP OS OT =+ ，所以 2313x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，， ................................................................ 2分整理得 323x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，， .......................................................................................................... 3分代入（*）得 2214x y +=，所以 所求的轨迹方程为2214x y +=． ......................................................................... 5分（2）【方法一】设0(0)Q y ，，当l '斜率不存在时，00y =. ................................................................... 6分 当l '斜率存在时，设直线l '的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11()M x y ，，22()N x y ，． 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去y 并整理得 2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=. 0∆>恒成立，2122814k x x k +=+，. ................................................................................ 8分设线段MN 的中点为33()G x y ，，则212324214x x k x k +==+，332(1)14k y k x k =-=-+. 所以 线段MN 的垂直平分线的方程为22214()1414k k y x k k k +=--++.令0x =，得02331144k y k kk==++. .............................................................................. 10分 当0k <时，144k k +- ，当且仅当12k =-时，取等号，所以 0304y -< ；当0k >时，144k k + ，当且仅当12k =时，取等号，所以 0304y < ；综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[]44-，. ................................................................ 12分【方法二】设0(0)Q y ，，根据题意直线l '斜率不为0，设直线l '的方程为1x my =+．若0m =，则 00y =. ....................................................................................................... 6分 当0m ≠时，设11()M x y ，，22()N x y ，，由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x 并整理得 22(4)230m y my ++-=. 0∆>恒成立，12224my y m +=-+. ................................................................................. 8分 设线段MN 的中点为33()G x y ，，则 123224y y m y m +==-+，332414x my m =+=+. 所以 线段MN 的垂直平分线的方程为224(44m y m x m m +=--++. 令0x =，得023344m y m m m==++. ............................................................................... 10分 当0m <时，44m m +- ，当且仅当2m =-时，取等号，所以 0304y -< ； 当0m >时，44m m +，当且仅当2m =时，取等号，所以 0304y < ； 综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[]44-，. ................................................................ 12分【方法三】设0(0)Q y ，，当l '斜率不存在时，00y =. ................................................................... 6分 当l '斜率存在时，设l '斜率为k ，11()M x y ，，22()N x y ，，线段MN 的中点为33()G x y ，， 由221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得 12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.所以 33121212123324()424x x y y x xk x x y y y y -+==-=-=--+⨯， ................................................. 8分 线段MN 的垂直平分线的方程为33334()y y y x x x -=-， 令0x =，得033y y =-.由333341x yk y x =-=-，得222333311111()444216y x x x =-+=--+， ............................ 10分 因为 301x <<，所以 231016y < ，则 3104y -< 或3104y < ， 所以 0304y -< 或0304y < .综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[]44-，. ................................................................ 12分22．【解析】（1）3[(2)2]()x a x e x f x x -++'=，(2)12af '==， ............................................................................................................... 1分所以 2a =； .................................................................................................................. 2分 （2）要证()1f x >，只需证21()e 102x h x x x =--->，()e 1x h x x '=--，()e 1x h x ''=-， 因为 (0)x ∈+∞，，所以 ()0h x ''>， 所以 ()e 1x h x x '=--在(0)+∞，上单调递增，所以 ()e 1(0)0x h x x h ''=-->= ................................................................................... 5分所以 21()e 12x h x x x =---在(0)+∞，上单调递增，所以 21()e 1(0)02x h x x x h =--->=成立， 所以 当0x >时，()1f x >成立． ................................................................................ 6分 （3）【方法一】由（2）知当0x >时，()1f x >， 因为 1()n x n e f x +=，所以 1ln ()n n x f x +=， 设()ln ()n n g x f x =，则 1()n n x g x +=，所以 121()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====> ； ........................................ 8分 要证：2e 11n x n -<，只需证：1|e 1|()2n x n -<，因为 113x =，所以 113|e 1|e 1x -=-，因为 3327e ()e 028-=-<，所以 133e 2<，所以 1131|e 1|e 12x-=-<，故 只需证：11|e 1||e 1|2n n x x +-<-，因为 (0)n x ∈+∞，，故只需证：111e 1e 22n n x x +-<-，即证：11()1e 22n x n f x -<-，只需证：当(0)x ∈+∞，时，2211()(2)e 22022x x x x x ϕ=-+++>， .................... 10分 21()(2)e 22x x x x x ϕ'=+-++，21()(21)e 12x x x x ϕ''=+-+，21()(31)e 02x x x x ϕ'''=++>，所以 ()x ϕ''在区间(0)+∞，上是增函数，故 21()(21)e 1(0)02x x x x ϕϕ''''=+-+>=，所以 ()x ϕ'在区间(0)+∞，上是增函数，故 21()(2)e 2(0)02x x x x x ϕϕ''=+-++>=，所以 ()x ϕ在区间(0)+∞，上是增函数，所以 2211()(2)e 22(0)022x x x x x ϕϕ=-+++>=，所以 原不等式成立 ...................................................................................................... 12分 （ii ）【方法二】由（2）知当0x >时，()1f x >， 因为 1()n x n e f x +=，所以 1ln ()n n x f x +=， 设()ln ()n n g x f x =，则 1()n n x g x +=，所以 111()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====> ； .............................................. 8分 要证：2e 11n x n -<，只需证：1|e 1|()2n x n -<，因为 113x =，所以 113|e 1|e 1x -=-，因为 3327e ()e 028-=-<，所以 133e 2<，所以 1131|e 1|e 12x -=-<，故 只需证：11|e 1||e 1|2n n x x +-<-，因为 (0)n x ∈+∞，，故只需证：111e 1e 22n n x x +-<-，即证：11()1e 22n x n f x -<-， 只需证：当(0)x ∈+∞，时，2211()(2)e 22022x x x x x ϕ=-+++>， .................... 10分 因为 22111()(4)e (44)(2)[(2)(2)]222x xx x x x x x e x ϕ=-+++=+-++，设 ()(2)(2)x u x x e x =-++，故只需证：()0u x >，()(1)1x u x x e '=-+，()0x u x xe ''=>， 所以 ()u x '在区间(0)+∞，上是增函数， 故 ()(1)1(0)0x u x x e u ''=-+>=， 所以 ()u x 在区间(0)+∞，上是增函数， 故 ()(2)(2)(0)0x u x x e x u =-++>=，所以 原不等式成立 ...................................................................................................... 12分。