2020届第二学期高三年级周练04 数学试卷2020．3（考试时间120分钟 满分150分）第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） （1）已知全集U =R ，集合{|12}A x x =-≤≤，{|3B x x =<-，或4}x >，那么()U AB =ð（A ）{|14}x x -≤≤ （B ）{|32}x x -≤≤ （C ）{|12}x x -≤≤ （D ）{|34}x x -≤≤（2）已知复数i2ia +-为纯虚数，那么实数a =（A ）2- （B ）12- （C ）2 （D ）12（3）在区间[0,2]上随机取一个实数x ，若事件“30x m -<”发生的概率为16，则实数m =（A ）1 （B ）12 （C ）13 （D ）16（4）已知点M 的极坐标为2(5,)3π，那么将点M 的极坐标化成直角坐标为（A）5()2- （B）5()2（C）5(,22 （D）5(2- （5）“1x <”是“12log 0x >”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）一个几何体的三视图如图所示，图中直角三角形的直角边长均为1，则该几何体体积为 （A ）16 （B）6（C（D ）12（7）有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面，2面，3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成不同的信号多少种（A ）27 （B ）30（C ）36 （D ）39（8）已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（A ）(0,2) （B ）(0,8)（C ）(2,8) （D ）(,0)-∞第二部分（非选择题 共110分）二、 填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28S =，412S =，则{}n a 的公差d = ． （10）5(12)x -的展开式中3x 的系数等于 ．（11））若双曲线22221x y a b-=的离心率为2，则其渐近线方程为 ．（12）已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD = ____．（13）已知函数)(x f 是R 上的减函数，且(2)y f x =-的图象关于点(2,0)成中心对称．若,u v 满足不等式组()(1)0,(1)0,f u f v f u v +-≤⎧⎨--≥⎩则22u v +的最小值为 ．（14）已知x ∈R ，定义：()A x 表示不小于x的最小整数．如2A =，( 1.2)1A -=-．若(2+1)3A x =，则x 的取值范围是 ；若0x >且(2())5A x A x ⋅=，则x 的取值范围是 ．三、解答题（共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） （15）（本小题共13分）在△ABC 中，2b =，3cos 4C =，△ABC（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求sin 2A 值．（16）（本小题共13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．（17）（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，2AB PA BC ===.,D E 分别为,AB AC 的中点，过DE 的平面与,PB PC 相交于点,M N （M 与,P B 不重合，N 与,P C 不重合）.（Ⅰ）求证：MN ∥BC ；（Ⅱ）求直线AC 与平面PBC 所成角的大小； （Ⅲ）若直线EM 与直线AP求MC 的长.（18）（本小题共13分）已知函数x xax x f ln )(++=，a ∈R .（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间)2,1(上单调递增, 求a 的取值范围； （Ⅲ）讨论函数x x f x g -'=)()(的零点个数.（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>过点(0,1)-，且离心率e =.（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）是否存在菱形ABCD ，同时满足下列三个条件：①点A 在直线2y =上；②点B ，C ，D 在椭圆M 上； ③直线BD 的斜率等于1.如果存在，求出A 点坐标；如果不存在，说明理由.（20）（本小题共14分）在无穷数列{}n a 中，11a =，对于任意n *∈N ，都有n a *∈N ，且1n n a a +<．设集合{|,}m n A n a m m *=≤∈N ，将集合m A 中的元素的最大值记为m b ，即m b 是数列{}n a 中满足不等式n a m ≤的所有项的项数的最大值，我们称数列{}n b 为数列{}n a 的伴随数列．例如：数列{}n a 是1,3,4,，它的伴随数列{}n b 是1,1,2,3,．(Ⅰ)设数列{}n a 是1,4,5,，请写出{}n a 的伴随数列{}n b 的前5项；(Ⅱ)设1*3()n n a n -=∈N ，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 的前20项和； （Ⅲ）设*32()n a n n =-∈N ，求数列{}n a 的伴随数列{}n b 前n 项和n S ．C0.0252020届第二学期高三年级周练04数学答案 2020．3.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）D （3）A （4）D （5）B （6）D （7）A （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）1- （10）80-（11）12y x =±（12）2 （13）12 （14）1(,1]2 5(1,]4注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为3cos 4C =，且0C <<π，所以sin C =．因为1sin 2S a b C =⋅⋅，得1a =． …………………6分（Ⅱ）由余弦定理，2222cos c b a b a C =+-⋅⋅所以c =由正弦定理，sin c aC A =，得sin A = 所以cos A =所以sin 22sin cos A A A =⋅=． …………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人． 所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10-++=人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4创份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===， 21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为31601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分13分（17）（共14分）（Ⅰ）证明：因为,D E 分别为,AB AC 的中点，所以DE ∥BC .因为BC ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ， 所以DE ∥平面PBC .因为平面DENM 平面PBC MN =， 所以DE ∥MN .所以MN ∥BC . …………………5分（Ⅱ）解：如图，在平面PAB 内，作BZ ∥AP ，则,,BA BC BZ 两两互相垂直，建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(2,0,0)C ，(0,2,0)A ，(0,2,2)P .(2,0,0)BC =，(0,2,2)BP =，(2,2,0)AC =-设平面BPC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0.BC BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以0,220.x yz =⎧⎨+=⎩令1z =-，得1y =，0x =， (0,1,1)=-n .设直线AC 与平面PBC 所成角为α，则1sin |cos ,|||2||||AC AC AC α⋅=<>==n n n又[0,]2απ∈，所以直线AC 与平面PBC 所成角为6π. …………………10分（Ⅲ）解：设点M 的坐标为(,,)u v w .因为点M 在棱PB 上，所以可设(01)BM BP λλ=<<. 因为(,,)(0,2,2)u v w λ=，所以(0,2,2)M λλ.(1,21,2)EM λλ=--，(0,0,2)AP =.因为直线EM 与直线AP 所成角的余弦值为14， 设直线EM 与直线AP 所成角为θ， 所以3cos ||||||EM AP EM AP θ⋅== 所以281890λλ-+=.所以34λ=或32λ=. 因为01λ<<，所以34λ=.所以33(0,,)22M .因为(2,0,0)C ，所以2MC =. …………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）因为22211)('x a x x x x a x f -+=+-=，由已知()f x 在1x =处取得极值， 所以'(1)0f =.解得2a =，经检验2a =时，()f x 在1x =处取得极小值.所以2a =. ……3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，22211)('x ax x x x a x f -+=+-=，0x >.因为)(x f 在区间)2,1(上单调递增，所以0)('≥x f 在区间)2,1(上恒成立.即x x a +≤2在区间)2,1(上恒成立.所以2≤a . ……8分（Ⅱ）因为x x f x g -'=)()(，所以21()1a g x x x x=-+-，0>x . 令0)(=x g 得x x x a ++-=23，令x x x x h ++-=23)(，0>x .)1)(13(123)(2-+-=++-='x x x x x h .当)1,0(∈x 时，0)(>'x h ，)(x h 在)1,0(上单调递增， ),1(+∞∈x 时，0)(<'x h ，)(x h 在),1(+∞上单调递减. 所以max ()(1)1h x h ==.综上：当1>a 时，函数)(x g 无零点，当1=a 或0≤a 时，函数)(x g 有一个零点，当10<<a 时，函数)(x g 有两个零点.……13分（19）（共13分）解：解：（Ⅰ）由题意得：2221,,3.b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩………………3分解得：223,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以 椭圆M 的方程为2213x y +=. ………………4分 （Ⅱ）不存在满足题意的菱形ABCD ，理由如下： ………………5分 假设存在满足题意的菱形ABCD .设直线BD 的方程为y x m =+，11(,)B x y ，22(,)D x y ，线段BD 的中点00(,)Q x y ，点(,2)A t .由2233,x y y x m⎧+=⎨=+⎩得224230y my m -+-=. ………………8分 由()()2221630m m ∆=--> ，解得22m -<<. ………………9分 因为 122my y +=， 所以 12024y y my +==. ………………11分 因为 四边形ABCD 为菱形，所以 Q 是AC 的中点.所以 C 点的纵坐标022212C my y =-=-<-. ………………12分 因为 点C 在椭圆M 上，所以 1C y ≥-.这与1C y <-矛盾. ………………13分 所以 不存在满足题意的菱形ABCD .（20）（共14分） 解：(Ⅰ)1,1,1,2,3． ………………4分(Ⅱ)由13n n a m -=≤，得*31log ()n m m ≤+∈N所以当*12,m m ≤≤∈N 时，121b b ==．当*38,m m ≤≤∈N 时，3482b b b ====． 当*920,m m ≤≤∈N 时，910203b b b ====．所以1220122631250b b b +++=⨯+⨯+⨯=． …………9分（Ⅲ）由32n a n m =-≤，得*2()3m n m +≤∈N ．因为使得n a m ≤成立的n 的最大值为m b ，所以*123456323131,2,,()t t t b b b b b b b b b t t --======⋅⋅⋅===∈N ．当*32()n t t =-∈N 时，21(1)313(1)(1)(2)226n t t t S t t n n +--=⨯-+==++．当*31()n t t =-∈N 时，21(1)313(1)2(1)(2)226n t t t S t t n n +-+=⨯-+==++．当*3()n t t =∈N 时，213()13(3)226n t t t S t n n ++=⨯⨯==+．所以(1)(2)(3231,*),6(3)(3,*).6n n n n t n t t S n n n t t ++⎧=-=-∈⎪⎪=⎨+⎪=∈⎪⎩N N 或…………14分。