成都市2021届高三数学（理）摸底测试题卷本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则AB =(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x (C)}21|{<≤x x (D)}20|{<<x x 2．复数i iiz (22-=为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 3．已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>≤-.0,ln 0|,1|x x x x ，则1(())f f e =(A)0 (B)1 (C)1-e (D)24．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联 合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高=(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 若从随机数表第6行第9列的数开始向右读则抽取的第5名学生的学号是 (A)17 (B)23 (C)35 (D)37 5． ‘‘3=k ”是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6．已知离心率为2的双曲线22221(0x y a a b -=>，)0>b 与椭圆22184x y +=有公共焦点，则双曲线的方程为(A)221412x y -=(B)221124x y -=(C)2213y x -=(D)2213x y -= 7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为 (A)1- (B)22 (C)0 (D)212--8．设函数()f x 的导函数是'()f x ．若2()'()cos f x f x x π=-，则'()6f π=(A)12-(B)21 (C)32 (D)32-9．如图是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为 (A)π14 (B)π16 (C)π18 (D)π2010．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线)1(:+=x k y l 与曲线θθθθ(cos sin 2sin 1:⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为(A))1,0((B))21,0((C)2[,1)3(D)21[,)3211．已知函数||ln ||)(x x x f =．若)2(ln f a =，)3ln (-=f b ，)(e f c =，则c b a ,,的大小关系为A (A)b c a >> (B)b a c >> (C)a b c >> (D)a c b >>12．设,k b R ∈，若关于x 的不等式ln(1)x x kx b -+≤+在(1,)+∞上恒成立，则11b k --的最小值是 (A)2e -(B)11e -+(C)21e-(D)1e -- 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．已知呈线性相关的变量y x ,之间的关系如下表：由表中数据得到的回归直线方程为a x yˆ6.1ˆ+=．则当8=x 时，y ˆ的值为 ． 14．函数32)(2+-=-xex f 的图象在0=x 处的切线方程为 ．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋，甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 ．16．已知点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222ba y x -=+上．记直线1PF 的斜率为k ，若1≥k ，则椭圆离心率的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 [25,30) 200 第二组 [30,35) 300 第三组 [35,40) m 第四组 [40,45) 150第五组 [45,50) n 第六组 [50,55] 50 合计1000各年龄段频数分布表(I)请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中n m ,的值；(Ⅱ)现从年龄在)40,30[段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,35[段中的概率．18．（本小题满分12分）已知函数12)(23-+++=a bx ax x x f 在1-=x 处取得极值0，其中R b a ∈,． (I)求b a ,的值；(Ⅱ)当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最大值． 19.（本小题满分12分）如图①，在菱形ABCD 中，60=∠A 且2=AB ，E 为AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折起使2=AD ，得到如图②所示的四棱锥BCDE A -． (I)求证：平面⊥ABE 平面ABC ；(Ⅱ)若P 为AC 的中点，求二面角C BD P --的余弦值．20.（本小题满分12分）在同—平面直角坐标系xQy 中，圆422=+y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'':ϕ后，得到曲线C ．(I)求曲线C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且2||=AD ．求ABD ∆面积的最大值．21.（本小题满分12分）已知函数ax xe x f x+=)(，R a ∈．(I)设)(x f 的导函数为)('x f ，试讨论)('x f 的零点个数；(Ⅱ)设x a x a x ax x g a)1(ln ln )(-++=．当),1(+∞∈x 时，若)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围． 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为tt y t x (22221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=．(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点)0,1(P ．若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求22||1||1PB PA +的值．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =≥，则AB =C(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x (C)}21|{<≤x x (D)}20|{<<x x 解：{|12}AB x x =≤<，故选C2．复数i iiz (22-=为虚数单位)在复平面内对应的点位于B (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解：22(2)24242(2)(2)555i i i i z i i i i +-+====-+--+，其在复平面内对应的点的坐标为24(,)55-，故选B 3．已知函数=)(x f ⎩⎨⎧>≤-.0,ln 0|,1|x x x x ，则1(())f f e =D(A)0 (B)1 (C)1-e (D)2 解：11()ln1f e e ==-，1(())(1)|2|2f f f e=-=-=，故选D 4．为了加强全民爱眼意识，提高民族健康素质，1996年，卫生部，教育部，团中央等12个部委联 合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日”．某校高=(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．已知随机数表中第6行至第7行的各数如下：16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 若从随机数表第6行第9列的数开始向右读则抽取的第5名学生的学号是C (A)17 (B)23 (C)35 (D)37 解：读取的前5名学生的学号依次是：39，17，37，23，35， 故选C 5． ‘‘3=k ”是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切”的A(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解：直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切时，2|002|11k -+=+，解得3k =±．故选A6．已知离心率为2的双曲线22221(0x y a a b -=>，)0>b 与椭圆22184x y +=有公共焦点，则 双曲线的方程为C(A)221412x y -=(B)221124x y -=(C)2213y x -=(D)2213x y -= 解：设与椭圆22184x y +=有公共焦点的双曲线方程为221(48)84x y λλλ-=<<--，由题意知， 24218λλ-=+-，解得7λ=，所以2213y x -=为所求，故选C 7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为B (A)1- (B)22 (C)0 (D)212--解： 开始 0S =1n = ①222n =②223n = ③ 04n =④ 1- 5n =⑤212--6n = ⑥212--7n = ⑦ 1- 8n = ⑧9n =⑨2210n =故选B8．设函数()f x 的导函数是'()f x ．若2()'()cos f x f x x π=-，则'()6f π=B(A)12-(B)21(C)32 (D)32-解：2()'()cos f x f x x π=-，'()2'()sin f x f x x π∴=+，'()2'()f f πππ∴=，从而'()0f π=，()cos f x x =-，即'()sin f x x ∴=，1'()62f π∴=，故选B9．如图是某几何体的三视图，若三视图中的圆的半径均为2，则该几何体的表面积为C (A)π14 (B)π16 (C)π18 (D)π20解：其直观图如图所示．即球中减去上半球的右前的18球，及下半球的左后的18球．去掉的两个18球的球面面积为224248ππ⋅⋅=，因此而显出来的截面面积为六个14圆的面积，为21(2)664ππ⋅⋅=，所以该几何体的表面积为：222(4242)6126188ππππππ⋅-⋅⋅+=+=，故选C 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线)1(:+=x k y l 与曲线θθθθ(cos sin 2sin 1:⎩⎨⎧+=+=y x C 为参数)在第一象限恰有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为D(A))1,0((B))21,0((C)2[,1)3(D)21[,)32解：曲线21sin 2(sin cos ):sin cos x C y θθθθθ⎧=+=+⎨=+⎩的普通方程为2(02)y x x =≤≤．结合图象：过点(1,0)-，(2,2)的直线的斜率为2022(1)3-=--， 设过点(1,0)-与抛物线2(02)y x x =≤≤相切时的斜率为k ，由2(1)(02)y k x y x x =+⎧⎨=≤≤⎩消去x ，得20ky y k -+=，由140k k ∆=-⋅=得，12k =，故选D 11．已知函数||ln ||)(x x x f =．若)2(ln f a =，)3ln (-=f b ，)(e f c =，则c b a ,,的大小关系为A (A)b c a >> (B)b a c >> (C)a b c >> (D)a c b >>解：显然()f x 为偶函数，定义域为{|1}A x x =≠±，所以(ln3)(ln3)b f f =-=． 当0x >且1x ≠，()ln xf x x=，2ln 1'()(ln )x f x x -=． 当(0,1)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减且()0f x <；当(1,)x e ∈时，'()0f x <，()f x 单调递增且()0f x >；当(,)x e ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增且()0f x >； ()()f x f e e ==极小，如图．由于0ln 21<<，所以(ln 2)0a f =<；1ln ln3e e =<<，所以(ln3)(ln3)()b f f f e c =-=>=，所以a c b <<，故选A12．设,k b R ∈，若关于x 的不等式ln(1)x x kx b -+≤+在(1,)+∞上恒成立，则11b k --的最小值是D (A)2e -(B)11e -+(C)21e-(D)1e -- 解法一：令()ln(1)(1)f x x x x =-+>，则1'()1011xf x x x =+=>--，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增．又因为21''()0(1)f x x =-<-，所以()f x 在(1,)+∞上是上凸的． 因此关于x 的不等式ln(1)x x kx b -+≤+在(1,)+∞上恒成立，只需直线y kx b =+与函数()ln(1)(1)f x x x x =-+>在任意点00(,)P x y 处的切线重合即可．因为1'()111xf x x x =+=--，所以在点点00(,)P x y 处的切线方程为：0000()1x y y x x x -=--， 即2200000000000000000(1)ln(1)ln(1)111111x x x x x x x x y x y x x x x x x x x x x ---=-+=-+-+=+------， 所以00000001(1)(1)ln(1)1x k x x x x x b x ⎧=⎪-⎪>⎨---⎪=⎪-⎩，从而00001(1)ln(1)21(1)1b x x x x k -=---+>-．令01t x =-，则0t >，且1ln 211b t t t k -=---． 令()ln 21(0)t t t t t ϕ=-->，则'()ln 1t t ϕ=-，易知，()t ϕ在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，所以min ()()1t e e ϕϕ==--，故选D解法二：因为不等式ln(1)x x kx b -+≤+在(1,)+∞上恒成立，所以ln(1)x x kx b -+-≤在(1,)+∞上恒成立．令1(0)x t t -=>，则ln (1)1t k t k b +-+-≤在(0,)+∞上恒成立． 令()ln (1)1(0)f t t k t k t =+-+->，则1'()1f t k t=+-．当1k ≤时，'()0f t >，()f t 在(0,)+∞上单调递增，且lim ()t f t →+∞→+∞，不合题意，舍；当1k >时，由110k t+->，得101t k <<-，()f t 单调递增；同理11t k >-时，()f t 单调递减．因此当11t k =-时，()f t 取最大值，且max 11()()ln 11ln(1)11f t f k k k k k ==-+-=-----，即ln(1)k k b ---≤，即ln(1)(1)2(1)k k b -+-≥---．所以12ln(1)1111b k k k k ---≥-----． 令1(0)k u u -=>，则2ln ()1u g u u u -=--，21ln '()u g u u +=，易知当ln 1u =-，即1u e =时，()g u 取得最小值，且min1()()211g u g e e e e ==-+-=--，从而11b k --的最小值是1e --，故选D 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．已知呈线性相关的变量y x ,之间的关系如下表：由表中数据得到的回归直线方程为a x yˆ6.1ˆ+=．则当8=x 时，y ˆ的值为 12.3 ． 解：因为1234542x +++==，1346742y +++==，所以75ˆ1.622a=⨯+，从而1ˆ2a =-，即ˆ 1.60.5yx =-．当8=x 时，y ˆ的值为1.680.512.3⨯-=，填12.3 14．函数32)(2+-=-xe xf 的图象在0=x 处的切线方程为 410x y -+= ．解：因为2'()4xf x e-=，所以0'(0)44f e ==，且0(0)231f e =-+=，所以切线方程为14(0)y x -=-，即410x y -+=，填410x y -+=．15．已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋，甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”．如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 乙 ．解：若甲会，则甲、乙均为真，不合题；若乙会，则丙为真，符合题意；若丙会，则丙、乙均为真，不合题意．故填乙16．已知点P 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆2222ba y x -=+上．记直线1PF 的斜率为k ，若1≥k ，则椭圆离心率的最小值为 21- ．解：设椭圆的右焦点为2F ，线段1PF 的中点为M ，如图．注意到222a b c -=，所以线段1PF 的中点M 在圆222x y c +=上．易知，21||||2MO PF c ==，即2||2PF c =．由椭圆的定义知，1||22PF a c =-，从而111||||2MF PF a c ==-． 连2MF ．由于点M 在圆222x y c +=上，所以1290F MF ∠=．从而222||(2)()MF c a c =--．又由直线1PF 的斜率1k ≥，所以222121(2)()||tan 1||c a c MF k MF F MF a c --===≥-，即222(2)()()c a c a c --≥-，即2242()c a c ≥-，2c a c ≥-，所以(21)c a +≥，从而12121e ≥=-+，所以椭圆离心率的最小值为21-，填21- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）2019年12月，《生活垃圾分类标志》新标准发布并正式实施，为进一步普及生活垃圾分类知识，了解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进行了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 频数第一组 [25,30) 200 第二组 [30,35) 300 第三组 [35,40) m 第四组 [40,45) 150 第五组 [45,50) n 第六组 [50,55] 50 合计1000各年龄段频数分布表(I)请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中n m ,的值；(Ⅱ)现从年龄在)40,30[段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动，应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,35[段中的概率．解：(I) 第三组的频率为2.05)01.002.003.006.004.0(1=⨯++++-，……2分∴第三组直方图的高为04.052.0=． ……3分 补全频率分布直方图如下图：……4分由频率分布直方图，知200100002.0=⨯=m ，1001000)4550(02.0=⨯-⨯=n ．……6分 (Ⅱ)由(I)知年龄在)35,30[段中的人数与年龄在)40,35[段中的人数的比值为23200300=．所以采用分层抽样法抽取5名，年龄在)35,30[段中的有3名，年龄在)40,35[段中的有2名． ……8分 不妨设年龄在)35,30[段中的3名为321,,A A A ，年龄在)10,35[段中的2名为21,B B ． 由于从5名代表中任选2名作交流发言的所有可能情况有：},,{},,{},,{113121B A A A A A },{},,{},,{},,{},,{},,{},,{21231322123221B B B A B A B A B A A A B A ．共10种．……10分其中选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,53[段的情况有：},,{},,{2111B A B A },{},,{},,{},,{23132212B A B A B A B A ．共6种． ……11分故所求概率为53106==P ． ……12分 18．（本小题满分12分）已知函数12)(23-+++=a bx ax x x f 在1-=x 处取得极值0，其中R b a ∈,． (I)求b a ,的值；(Ⅱ)当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最大值．解：(I)b ax x x f ++=43)('2 ，且函数)(x f 在1-=x 处有极值O ，⎩⎨⎧=-=-∴.0)1(0)1('f f 即⎩⎨⎧=-+-+-=+-0121043a b a b a ……3分 解得⎩⎨⎧==.11b a ……5分又当1=a ，1=b 时，)31)(1(3143)('2++=++=x x x x x f 当)1,(--∞∈x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增； 当)31,1(--∈x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减； 当),31(+∞-∈x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增．故)(x f 在1-=x 处取得极大值．综上，1=a ，1=b ……6分(Ⅱ)当1=a ，1=b 时，x x x x f ++=232)(．则)31)(1(3143)('2++=++=x x x x x f当x 变化时，)('x f 与)(x f 的变化情况如下表：x1-)31,1(--31- )1,31(- 1)('x f-+)(x f 0单调递减极小值274-单调递增 4∴当1=x 时，)(x f 取得最大值4．……12分19.（本小题满分12分）如图①，在菱形ABCD 中，60=∠A 且2=AB ，E 为AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折起使2=AD ，得到如图②所示的四棱锥BCDE A -． (I)求证：平面⊥ABE 平面ABC ；(Ⅱ)若P 为AC 的中点，求二面角C BD P --的余弦值．解：(I)在图①中，连接BD ．四边形ABCD 为菱形， 60=∠A ，ABD ∆∴是等边三角形．E 为AD 的中点，AE BE ⊥∴，DE BE ⊥． ……1分又2==AB AD ，1==∴DE AE ． 在图②中，2=AD222AD ED AE =+∴，ED AE ⊥∴． ……2分DE BC // ，BE BC ⊥∴AE BC ⊥．又E AE BE = ，AE ，⊂BE 平面ABE ．⊥∴BC 平面ABE ．……4分⊂BC 平面ABC ，∴平面⊥ABE 平面ABC ． ……6分(Ⅱ)由(I)，知DE AE ⊥，BE AE ⊥．E DE BE = ，⊂DE BE ,平面BCDE ．⊥∴AE 平面BCDE ．以E 为坐标原点，EB ，ED ，FA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz ．则)0,1,0(),0,2,3(),0,0,3(),1,0,0(),0,0,0(D C B A E ．P 为AC 的中点，31(,1,)22P ∴．31(,1,)22PB ∴=--，31(,0,)22PD =--． 设平面PBD 的一个法向量为),,(z y x m =．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PD m PB m 得31022310.22x y z x z ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩……8分令3=z ，得)3,3,1(--=m ． ……9分又平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=EA ． ……10分 设二面角C BD P --的大小为θ，由题意知该二面角为锐角．则721713||||||cos =⨯=⎩⎨⎧⋅=m EA m EA θ∴二面角C BD P --的余弦值为721． ……12分 20.（本小题满分12分）在同—平面直角坐标系xQy 中，圆422=+y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'':ϕ后，得到曲线C ．(I)求曲线C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，连接BO 并延长与曲线C 相交于点D ，且2||=AD ．求ABD ∆面积的最大值．解：(I)设圆422=+y x 上任意一点),(y x M 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 21'':ϕ得到对应点)','('y x M ．将'x x =，'2y y =代人422=+y x ，得4)'2('22=+y x ，化简得1'4'22=+y x ．∴曲线C 的方程为1'4'22=+y x ．……4分(Ⅱ)由题知当直线AD 的斜率不存在时，由2||=AD ，则B A ,两点重合，不满足题意．……5分 当直线AD 的斜率存在时，不妨设直线m kx y AD +=:，),(11y x A ，),(22y x D ． 因点D B .关于原点对称，故AOD ABD S S ∆∆=2．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y 消去y ，化简得0448)41(222=-+++m kmx x k ．0)14(16)44)(41(464222222>+-=-+-=∆∴m k m k m k ，即01422>+-m k ．．……(*)221418k kmx x +-=+∴，22214144k m x x +-=． ……6分 由2||=AD ，即2411441||1||2222212=++-+=-+=k m k kx x k AD ． 得222141.43k k m ++=．……8分设点O 到直线AD 的距离为d ，则21||km d +=．又d d AD S S AOD ABD 2||2122=⋅⨯==∆∆， 114.31||2222++=+=∴∆k k k m S ABD． ……9分 令)1(142≥=+t t k ，则)1(4122-=t k ． ……10分 23343342≤+=+=∴∆tt t t S ABD ，当且仅当3=t 时等号成立． 此时212=k ，232=m 且满足(*)式． …11分 ABD ∆∴面积的最大值为2． ……12分21.（本小题满分12分）已知函数ax xe x f x+=)(，R a ∈．(I)设)(x f 的导函数为)('x f ，试讨论)('x f 的零点个数；(Ⅱ)设x a x a x ax x g a)1(ln ln )(-++=．当),1(+∞∈x 时，若)()(x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围． 解：a e x x f x++=)1()(')('x f ∴的零点个数等价于方程x e x a )1(+=-的根的个数． ……1分设xe x x F )1()(+=，则考虑直线a y -=与曲线)(x F y =的公共点个数．x e x x F )2()('+= ．令0)2()('=+=x e x x F ，解得2-=x ． ∴当)2,(--∞∈x 时，0)('<x F ，此时)(x F 在)2,(--∞上单调递减；当),2(+∞-∈x 时，0)('>x F ，此时)(x F 在),2(+∞-上单调递增．)(x F ∴的最小值为21)2(e F -=-． 又0)1(=-F ，当1-<x 时，0)(<x F ；当1->x 时，0)(>x F ． 当-∞→x 时，0)(→x F ；当+∞→x 时，+∞→)(x F ． ……2分 由其函数图象性质，可得： ① 0≥-a 或21e a -=-，即0≤a 或21ea =时，直线a y -=与曲线)(x F y =有1个公共点；……3分 ②当012<-<-a e ，即210e a <<时，直线a y -=与曲线)(x F y =有2个公共点；……4分 ③当21e a -<-，即21ea >时，直线a y -=与曲线)(x F y =无公共点． 综上所述，当0≤a 或21e a =时，)('x f 有且只有1个零点；当210e a <<时，)('x f 有2个零点；当21e a >时，)('xf 无零点． …5分(Ⅱ)当),1(+∞∈x 时，若)()(x g x f ≥成立， 即x a x ax x xe ax ln ln +≥+对),1(+∞∈x 恒成立， 亦即x a ex a x xe xxln )ln (ln +≥+α对),1(+∞∈x 恒成立． …6分设函数x xe x h x+=)(．)ln ()(x a h x h ≥∴对),1(+∞∈x 恒成立．又1)1()('++=xe x x h ，设1)1()(')(++==xe x x h x ϕ．x e x x )2()('+=∴ϕ．∴当)2,(--∞∈x 时，0)('<x ϕ，此时)('x h 在)2,(--∞上单调递减；当),2(+∞-∈x 时，0)('>x ϕ，此时)('x h 在),2(+∞-上单调递增．011)2(')('2>-=-≥∴e h x h ． )(x h ∴在R 上单调递增． ……8分又)ln ()(x a h x h ≥，x a x ln ≥∴在),1(+∞上恒成立． 令x a x x m ln )(-=，则xax x a x m -=-=1)('． ② 1≤a 时，0)('>x m 在),1(+∞上恒成立，01)1()(>=>∴m x m ，此时满足已知条件， ……9分 ②当1>a 时，由0)('=x m ，解得a x =．当),1(a x ∈时，0)('<x m ，此时)(x m 在),1(a 上单调递减； 当),(+∞∈a x 时，0)('>x m ，此时)(x m 在),(+∞a 上单调递增．)(x m ∴的最小值0ln )(≥-=a a a a m ，解得e a ≤<1． ……11分综上，a 的取值范围是],(e -∞ ……12分 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为tt y t x (22221⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=．(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知点)0,1(P ．若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求22||1||1PB PA +的值．解：(I)由直线l 的参数方程，消去参数t ，得直线l 的普通方程为01=--y x ．……2分由222y x +=ρ，x =θρcos ，y =θρsin ，得曲线C 的直角坐标方程为9)3(22=+-y x ．……4分 (Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理得05222=--t t ．…(*) ……6分设21,t t 是方程(*)的两个实数根，则有028>=∆，2221=+t t ，521-=t t ． ……8分2518|5|)5(2)22(||2)(||||||||||1||12222121221222222=--⨯-=-+=⋅+=+∴t t t t t t PB PA PB PA PB PA ．……10分。