2020-2021学年天津市耀华中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1．（4分）抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(1,0)2．（4分）若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且双曲线C 经过点(2,6)，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．4B ．12C．D．3．（4分）已知等比数列{}n a 中，24a =-，512a =，则公比(q = ) A ．2-B ．12-C ．12D ．24．（4分）在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910(a a a ++= ) A ．72B ．60C ．48D ．365．（4分）数列{}n a 满足123n na n+++⋯+=，则数列11{}n n a a +的前n 项和为( )A ．2nn + B ．22nn + C ．1n n + D ．21nn + 6．（4分）已知双曲线221(0)4x y m m-=>0y ±=，则双曲线的离心率为( )A ．2 BCD7．（4分）已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为( )A ．221916x y -=B ．2211641x y -=C ．2214116y x -= D ．221916y x -= 8．（4分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为( ) A．2x y =B．2x y =C ．28x y =D ．216x y =9．（4分）在等差数列{}n a 中，981a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的最大自然数n 的值为( ) A ．15B ．16C ．17D ．1810．（4分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为( )A．y =B．y =C ．y x =±D ．2y x =±二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上． 11．（4分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为 ．12．（4分）已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 ．13．（4分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = ． 14．（4分）在等比数列{}n a 中，0n a >，344a a =，则212226log log log a a a ++⋯+值为 ． 15．（4分）已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为 ． 16．（4分）已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，22n nn S a a =+，1121(2)(2)n n n n n n b a a +++=++，对任意的*n N ∈，n T >恒成立，则的最小值是 ．三、解答题．本大题共3小题，共36分，将解题过程及答案填写在答题卡上．17．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为平行四边形，AB AC ⊥，且3PA AB ==，2AC =，E 是棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）求直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段PB 上（不含端点）是否存在一点M ，使得二面角M AC E --？若存在，确定M 的位置；若不存在，说明理由．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，当*n N ∈时，22n n S a +=，数列{}n b 中，11b =．直线20x y -+=经过点(n P b ，1)n b +．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式n a 和n b ；（2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求168n T <的最大整数n ．19．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>63(22,)T 在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线2y x m +与椭圆交于A ，B 两点，点P 的坐标为(22,0)，且1PA PB =-，求实数m 的值．2020-2021学年天津市耀华中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上． 1．（4分）抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A ．(0,2)B ．(0,1)C ．(2,0)D ．(1,0)【解答】解：抛物线24y x =的焦点坐标是(1,0)， 故选：D ．2．（4分）若双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>与双曲线22:146x y D -=有相同的渐近线，且双曲线C 经过点(2,6)，则双曲线C 的实轴长为( )A ．4B ．12C ．D ．【解答】解：由已知可得双曲线C 的渐近线方程为：ay x b=±，双曲线D 的渐近线方程为：y =，所以a b =(2,6)在双曲线C 上，则223641a b-=，解得a b ==所以双曲线C 的实轴长为2a =， 故选：C ．3．（4分）已知等比数列{}n a 中，24a =-，512a =，则公比(q = ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解答】解：等比数列{}n a 中，24a =-，512a =， 可得325a q a =，即3142q -=，解得12q =-． 故选：B ．4．（4分）在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则8910(a a a ++= ) A ．72B ．60C ．48D ．36【解答】解：因为数列{}n a 是等差数列所以由51340a a +=以及等差中项 可得：9924020a a =⇒=． 故：89109360a a a a ++==． 故选：B ．5．（4分）数列{}n a 满足123n na n+++⋯+=，则数列11{}n n a a +的前n 项和为( )A ．2nn + B ．22nn + C ．1n n + D ．21nn + 【解答】解：1231(1)2n n a n n ++++==+，114114()(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++， 可得数列11{}n n a a +的前n 项和为1111114()233412n n -+-+⋯+-++ 1124()222nn n =-=++． 故选：B ．6．（4分）已知双曲线221(0)4x y m m-=>0y ±=，则双曲线的离心率为( ) A ．2BCD【解答】解：双曲线221(0)4x y m m-=>0y ±=，所以ba ==则双曲线的离心率为2e ==．故选：A ．7．（4分）已知抛物线2120x y =的焦点F 与双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为( )A ．221916x y -=B ．2211641x y -=C ．2214116y x -= D ．221916y x -= 【解答】解：抛物线2120x y =的焦点坐标为(0,5)， 双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线的方程为0by ax +=，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴4b ==，即4b =，5c =，3a ∴=，∴双曲线方程为：221916y x -=．故选：D ．8．（4分）已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为( ) A．2x y =B．2x y =C ．28x y =D ．216x y =【解答】解：双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2．所以2c a =，即：2224a b a +=，所以223b a =；双曲线的渐近线方程为：0x ya b±=抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2p到双曲线1C 的渐近线的距离为2，所以||2p =，因为223b a=，所以8p =．抛物线2C 的方程为216x y =． 故选：D ．9．（4分）在等差数列{}n a 中，981a a <-，若它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的最大自然数n 的值为( ) A ．15B ．16C ．17D ．18【解答】解：前n 项和n S 有最大值，∴公差0d <， 又981a a <-，80a ∴>，90a <， ∴由不等式的性质可得890a a +<，115815815()15215022a a a S a +∴===>， 116168916()8()02a a S a a +==+<， ∴使0n S >成立的最大自然数n 的值为：15．故选：A ．10．（4分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作圆222x y a +=的切线，交双曲线右支于点M ，若1245F MF ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±【解答】解：设切点为N ，连接ON ，作2F 作2F A MN ⊥，垂足为A ， 由||ON a =，且ON 为△12F F A 的中位线，可得 2||2F A a =，221||F N c a b =-=，即有1||2F A b =，在直角三角形2MF A 中，可得2||22MF a =， 即有1||22MF b a =+，由双曲线的定义可得12||||22222MF MF b a a a -=+-=， 可得2b a =，则双曲线的渐近线方程为2y x =±． 故选：A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题卡上． 11．（4分）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为 4x =- ．【解答】解：抛物线方程为22y px =∴抛物线焦点为(2p F ，0)，准线方程为2p x =-又点(1,)M m 到其焦点的距离为5， 0p ∴>，根据抛物线的定义，得152p+=， 8p ∴=，∴准线方程为4x =-．故答案为：4x =-．12．（4分）已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12||F F 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为 221916x y -= ．【解答】解：点(3,4)在以12||F F 为直径的圆上， 5c ∴=，可得2225a b +=⋯①又点(3,4)在双曲线的渐近线by x a=上， ∴43b a =⋯②， ①②联解，得3a =且4b =，可得双曲线的方程221916x y -=．故答案为：221916x y -=．13．（4分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = 10- ． 【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题设知：32433(32)22(42)22d dd ⨯⨯⨯+=⨯++⨯+，即189127d d +=+， 解得：3d =-， 52410a d ∴=+=-，故答案为：10-．14．（4分）在等比数列{}n a 中，0n a >，344a a =，则212226log log log a a a ++⋯+值为 6 ． 【解答】解：在等比数列{}n a 中，0n a >，3416254a a a a a a ===，则33212226212623422log log log log ()()46log 26a a a a a a log a a log ++⋯+=⋅⋯⋅====． 故答案为：6．15．（4分）已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则n a n 的最小值为 212． 【解答】解：2112211()()()2[12(1)]3333n n n n n a a a a a a a a n n n ---=-+-+⋯+-+=++⋯+-+=+-。