lim(x sin x) 0
x0
例2.求
lim (
n
1 n2
2 n2
n n2 )
解
:当n
时,
1 n2
,
2 n2
,
n n2
均为无穷小, 但
1
lim (
n
n
2
பைடு நூலகம்
2 n2
n n2 )
lim
n
n(n 1) 2n2
1 lim ( n 2
1) 2n
1 2
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x0 3x
lim
x0
3x x2
,
2x 2 lim , x0 3x 3
lim sin x 1 x0 x
x2是比3x高阶的无穷小 3x是比x2低阶的无穷小 2x是比3x同阶的无穷小 sin x与x是等价无穷小
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lim f ( x) 0
即若 x x0
，
lim f ( x) 0
x
则 f ( x)是当 x x0 时的无穷小。 x
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2.无穷小性质
（1）有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小。
例1.求lim(x sin x) x0
解:函数y x及y sin x都是x 0时无穷小,有性质1得
4
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一、 无穷小概念
1.无穷小的定义
如果当 x x（0 或 x ）时，函数f(x)的极限是零，那么称函 数f(x)当 x x（0 或 x ）时为无穷小。常用, ,表示
例 lim x3 27 0, x3 27是当x 3时为无穷小 . x3
2x lim
2
x0 3x 3
x
1
3x
3
x2
1
0.5
0.1 0.01 …
1.5
0.3 0.03 …
0.25 0.01 0.0001 …
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3、无穷小的比较
定义 设和是同一变化过程中的两个无穷小，
即lim =0和lim=0
(１)
lim 1 0, 函数 1 是当x 时为无穷小
x x
x
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例1 判断下列函数哪些是无穷小，哪些不是无穷小。
(1) f (x) 0(x 3)
lim 0 0 x3
0是当 x 3 时为无穷小
(2) 1 (x 1) x
如果
lim
0
，那么称是的高阶无穷小
(２)
如果 lim
，那么称是的低阶无穷小
(３) 如果 lim
c
(c 0)，那么称是的同阶无穷小
特别是当c=1时，即当
lim
1 时，则称与是
等价无穷小,记作：
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x2 lim 0,
(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x
0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
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实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？
x x
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例5： 当 x 0 时，x 2 , x,3x 都是无穷小，他们的积
仍为无穷小，那么它们的商是否也是无穷小呢？
并通过列表观察 x 2 , x,3x 趋向于零的速度。
lim x2 0, x0 3x
3x lim , x0 x 2
lim 1 1
x1 x
1 是当
x
x 1 时不是无穷小
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简言之，极限为 0 的量叫做无穷小量。
(1) 无穷小与很小的数不能等同, 无穷小是变量. 零是可作为无穷小的惟一的常数一的常数.
(2) 无穷小必须指明自变量 的变化趋向.
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常用等价无穷小 :
～ ～ ～ ～
14
～
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实例3
小王有本金A元，银行存款的年利率为 r， 不考虑个人所得税，按复利计算，小王第一 年末的本利和为A(1+r), 第二年末的本利和为 A(1+r) 2 ，…，第n年末的本利和为A(1+r) n ，那 么随着存款时间推移，本利和会如何变化？
注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
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二、无穷大的概念
观察f (x) 1 , 当 x 0时，| f ( x) | 无限增大
x
定义: 如果当 x x（0 或 x ）时，函数f(x)的绝对值无
限增大，那么称函数f(x)当 无穷大。
x
x 0（或x
）时为
记作
lim f (x)
xx0
( x)
如 lim 1 ,
称 1 是当 x 0 时的无穷大.
x0 x
x
lim 3n , 称 3n 是当 n 时的无穷大.
n
lim(x 1) , 称 x 1是当 x 时的无穷大.
x
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知识目标
1、理解无穷大与无穷小的概念 2、掌握无穷小的性质
能力目标
1、会用无穷小计算函数的极限 2、会将无穷小的数学概念与专业问题互译
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