《二次根式》培优专题一二次根式培优专题一、【基础知识精讲】1.二次根式：形如a（其中a）的式子叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开得尽的；⑵被开方数中不含；⑶分母中不含。
3.同类二次根式：二次根式化成后，若相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a）2= （其中a）（2） 2a （其中a）5.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：一定要注意根号内隐含的含字母的代数式的符号或根号外含字母的代数式的符号；如果被开方数是代数和的形式，则先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面。
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数。
=（其中a ,b）；ba=（其中a ,b）.（4）分母有理化：把分母中的根号化去，就叫分母有理化，方法是分子分母都乘以分母的有理化因式，两个根式相乘后不再含有根式，这样的两个根式就叫互为有理化因式，如3的有理化因式就是3，8的有理化因式可以是8也可以是2，ba+的有理化因式就是ba-.（5）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．（6）二次根式的加减乘除运算，最后的结果都要化为最简二次根式．6.双重二次根式的化简：二次根号里又含有二次根式，称之为双重二次根式。
双重二次根式化简的方法是：设0,0,0,0>>>>yayx，且bxyayx==+,，则222)(2)()(2)(2yxyxyxxyyxba+=⋅++=++=+yxba+=+∴2如：要化简625—，∵632532=⨯=+，∴23326252—）—（—==但要注意最后的结果是正数，所以不能是32—二、【例题精讲】类型一：考查二次根式的概念（求自变量取值范围）1、下列各式中，不是二次根式的是（ ）A 45B 3π-14122、二次根式4122--x x 有意义时的x的取值范围是 。
3、已知： 122+--++=x x y ，则2001)(y x += 。
类型二：考查二次根式的性质（非负性、化简） 1、实数在数轴上的位置如图1所示，化简|a -1|+2)2(-a = 。
2、把34-的根号外的因式移到根号内得 ；3、化简：=--x x 1 ；4、化简=-+-+-222)72()57(2)73( 。
5、化简627-= 。
6、代数式243x --的最大值是 。
类型三：考查同类二次根式与最简二次根式（化简）把313，32，2721，7521按由大到小的顺序排列为：类型四：考查二次根式的运算（加减乘除混合运算、（图1）分母有理化）1、若32+=a ，32-=b ，则a 与b 的关系是（ ） A ．互为相反数；B ．互为倒数；C ．互为负倒数；D ．以上均不对。
2、计算：100991431321211++++++++ΛΛ【同步练习】一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的是（ ） A ．若a a -=2，则a<0 B ．0,2>=a a a 则若 C ．4284b a b a = D ． 5的平方根是52．二次根式13)3(2++mm 的值是（ ）A ．23B ．32C ．22D ．0 3．化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -4．若b a是二次根式，则a ，b 应满足的条件是（ ）A ．a ，b 均为非负数B ．a ，b 同号C ．a ≥0，b>0 D ．0≥ba5．（2005·湖北武汉）已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a - 6．把m m 1-根号外的因式移到根号内，得（ ）A ．mB ．m-C ．m--D ．m-7．下列各式中，一定能成立的是（ ）A ．22)5.2()5.2(=- B ．22)(a a = C ．1-x 122=+-x x D ．3392+⋅-=-x x x8．若x+y=0，则下列各式不成立的是（ ）A ．022=-y x B ．033=+y x C ．022=-y x D ．0=+y x9．当3-=x 时，二次根7522++x x m 式的值为5，则m 等于（ ）A ．2B ．22C ．55D ．510．已知1018222=++x x x x，则x 等于（ ）A ．4B ．±2C ．2D ．±4二、填空题（每小题3分，共30分） 11．若5-x 不是二次根式，则x 的取值范围是12．（2005·江西）已知a<2，=-2)2(a13．当x= 时，二次根式1+x 取最小值，其最小值为 14．计算：=⨯÷182712 ；=÷-)32274483(15．若一个正方体的长为cm62，宽为cm3，高为cm2，则它的体积为 3cm16．若433+-+-=x x y ，则=+y x17．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 318．若3)3(-⋅=-m m m m ，则m 的取值范围是19．若=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=y x y x 则,432311,13220．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=三、化简（前5题每小题6分，后两题每题7分，共44分）21．21418122-+- 22.3)154276485(÷+-23.x xx x 3)1246(÷-24.21)2()12(18---+++25．已知：132-=x ，求12+-x x的值。
26．已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyy x x yy x x x y27、阅读下面问题：12)12)(12()12(1211-=-+-⨯=+； ;23)23)(23(23231-=-+-=+25)25)(25(25251-=-+-=+试求：⑴671+的值； ⑵17231+的值； ⑶nn ++11（n为正整数）的值。
【培优练习】一、二次根式的非负性 1．若2004a a-=，则22004a -=_____________．2．代数式13432---x x 的最小值是_____________．3．已知1888+-+-=x x y ，求代数式xy y x xyy x y x ---+2的值．4．若m =，求m 的值．二、二次根式的化简技巧 （一）构造完全平方 1、22222222222222])1(1[)1(121)1(11)(1)2n(n 1)1(1221)1()1(1)1(111+++⋅+=+++++=++++=++++=+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n 由化简得_________________)1(11122=+++n n（拓展）计算2222222220041200311413113121121111++++++++++++Λ．2．化简：5225232-+---++y y y y ．3．化简241286+++．4．化简：23246623+--．（二）分母有理化 1．计算：4947474917557153351331++++++++ΛΛ的值．2．分母有理化：53262++．3．计算：321232+++-．三、二次根式的应用 （一）无理数的分割1．设a 为5353--+的小数部分，b 为336336--+的小数部分，则ab 12-的值为（ ）（A ）126+- （B ）41 （C ）12-π （D ）832π--2的整数部分为x ，小数部分为y ，试求2212xxy y ++的值． 3．a ，小数部分为b ，试求1a b b ++的值（二）性质的应用1．设m 、x 、y 均为正整数，且yx m -=-28，则m y x ++=_________．2．设Λ+++=222x ，Λ222=y ，则（ ）（A ） y x > （B ） y x < （C ） y x = （D ） 不能确定（三）有二次根式的代数式化简 1．已知)56()2(y x y y x x +=+，求yxy x y xy x 32++-+的值．2=3．已知：7878+-=x ，7878-+=y ，求：yx xyy x +++2的值．4．已知321+=a ，求aa a a a a a -+---+-22212121的值．5．已知：a ，b 为实数，且22222+-+-=a a a b ．求()222ab a b ---+-的值．。