中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第六章作业答案
现代控制理论
Modern Control Theory
中南大学 信息科学与工程学院自动化专业
2021年1月24日
中南大学信息科学与工程学院自动化专业现代控制理论讲义
第六章作业答案
6.2 已知系统为
x1 x2
x2 x3
x3 x1 x2 x3 3u
1 2 1 1 0 0 72 18 1 P b Ab A2b 2 1 0 0 1 6 18 1 0
1 0 0 0 0 1 1 0 0
72 18 1 12 1 0
1 0 0
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并求出其逆
第六章作业答案
0 0 1 Q P 1 0 1 12
试确定线性状态反馈控制律，使闭环极点都是－3，并画出闭环系
统的结构图。
解：根据题意，理想特征多项式为
* (s) (s 3)3 s3 9s2 27s 27
0 1 0 0
x
=
0
0
1
x
+
0
u
1 1 1 3
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令
u k1 k2 k3 x
即
26
26
8
k1
, 3
k2
, 3
k3 3
u
26 3
26 3
8 3
x
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第六章作业答案
闭环系统的结构图
u
3
x3
x3
x2
x1
8
3 26
3 26
3
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Hale Waihona Puke 第六章作业答案6.3 给定系统的传递函数为
试问能否用状态反馈将函数变为
(s 1) gk (s) (s 2)(s 3)
和
(s 2) gk (s) (s 1)(s 3)
若有可能，试分别求出状态反馈增益阵k，并画出结构图。
解：当给定任意一个有理真分式传递函数g(s)时，都可以得到它
的一个能控标准形实现，利用这个能控标准形可任意配置闭环系 统的极点。
其特征多项式为
(s) s3 (12 k3 )s2 (32 k2 )s 3k1
通过比较系数得
k1 56, 32 k2 50, 12 k3 13
即
k1 56, k2 18, k3 1
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第六章作业答案
6.4 给定单输入线性定常系统为
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进而计算理想特征多项式
3
* (s) (s i* ) (s 2)(s 1 j)(s 1 j) s3 4s2 6s 4 i 1
于是，可求得
k 0* 0 1* 1 2* 2 4 66 14
再来计算变换阵
并带入原系统的状态方程，可得
第六章作业答案
0
x
0
1 3k1
其特征多项式为
1 0 1 3k2
0
1
x
1 3k3
(s) s3 (1 3k3 )s2 (1 3k2 )s (1 3k1 )
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通过比较系数得
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1 3k3 9, 1 3k2 27, 1 3k3 27
1 18 144
从而，所要确定的反馈增益阵k即为
0 0 1
k kQ 4 66 14 0 1 12 14 186 1220
1 18 144
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6.5 给定系统的传递函数为
g(s) (s 1)(s 2) (s 1)(s 2)(s 3)
从而，可看出状态反馈可以任意配置传递函数的极点，但不能 任意配置其零点。
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闭环系统结构图1
u
x3
2
第六章作业答案
x3
5
x2
x1
6
5 21 18
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闭环系统结构图2
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u
x3
x3
x2
x1
2
5
6
1 4 3
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6.9 给定系统的状态空间表达式为
1 2 3 2
x
0
1
1
x
0 u
1 0 1 1
y 1 1 0 x
(1) 设计一个具有特征值为的全维状态观测器；
(2) 设计一个具有特征值为的降维状态观测器；
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对于传递函数g(s)，所对应的能控标准型为
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0
u
6 5 2 1
利用上面两题中方法可知，通过状态反馈
u 18 21 5 x
能将极点配置为-2,-2,-3，此时所对应的闭环传递数为
(s 1)(s 2)
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0 1 0 0
x = 0 0
1
x
+
0
u
0 32 12 1
令
u k1 k2 k3 x
并带入原系统的状态方程，可得
0
x
0
k1
1 0 32 k2
0
1
x
12 k3
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0 0 0 1
x 1 6
0
x
0
u
0 1 12 0
试求出状态反馈 u=－kx 使得闭环系统的特征值为
1* 2, 2* 1 j, 3* 1 j
解：易知系统为完全能控，故满足可配置条件。系统的特征 多项式为
s
det( sI
A)
det
1
0
0 s6 1
0
0
s2
18 s 2
72s
s 12
(s 1)
gk (s) (s 2)(s 2)(s 3) (s 2)(s 3)
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通过状态反馈
u 3 4 1 x
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能将极点配置为 1,-1,-3 ，此时所对应的闭环传递数为
(s 1)(s 2)
(s 2)
gk (s) (s 1)(s 1)(s 3) (s 1)(s 3)
G(s)
1
s(s 4)(s 8)
试确定线性状态反馈律，使闭环极点为-2,-4,-7。
解：根据题意，理想特征多项式为
* (s) (s 2)(s 4)(s 7) s3 13s2 50s 56
由传递函数可写出原系统的能控标准形
1
1
G(s) s(s 4)(s 8) s3 12s2 32s