圆与特殊角度
1．已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=︒，以DC 为直径作半圆O ，交边AC 于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED C ∠=∠． （1）求证：BF 是O 的切线；
（2）若BF FC =，3AE =，求O 的半径．
2、如图，AB 是⊙Ｏ的直径，∠A ＝30，延长OB 到D ，使BD ＝OB ． （1）△OCB 是否是等边三角形？说明你的理由； （2）求证：DC 是⊙Ｏ的切线．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上, OC ∥AD 交⊙O 于E , 点F 在CD 延长线上, 且∠BOC +∠ADF =90︒． （1）求证： ;
（2）求证：CD 是⊙O 的切线. 证明:
4. 如图，在⊙O 中，弦BC AE ⊥于D ，6=BC ，7=AD ，︒=∠45BAC 。

（1） 求⊙O 的半径。

（2） 求DE 的长。

A
B
O
D
C
D O A
C
B
F E
C
A O
E
B
D
O B
C A E P
19．如图，已知直线P A 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠P AE ，过点C 作CD ⊥P A 于D ． （1） 求证：CD 是⊙O 的切线； （2） 若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径．
22．如图，在△ABC 中，∠C =90°, AD 是∠BAC 的平分线，O 是AB 上一点, 以OA 为半径的⊙O 经过点D .
（1）求证： BC 是⊙O 切线； （2）若BD =5, DC =3, 求AC 的长.
解：
32．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到点C ，使DC =BD ，连结AC ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． (1)求证：AB =AC ；
(2)求证：DE 为⊙O 的切线；
(3)若⊙O 的半径为5，∠BAC =60°，求DE 的长．
O A
C B
21．如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE
交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ． （1）求证：AB 是半圆O 的切线；
（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．
圆与三角函数
19．如图，AB 、BF 分别是⊙O 的直径和弦，弦CD 与AB 、BF 分别相交于点E 、G ，过点F 的切线HF 与
DC 的延长线相交于点H ，且HF ＝HG . （1）求证：AB ⊥CD ；
（2）若sin ∠HGF ＝4
3
，BF ＝3，求⊙O 的半径长.
20．如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，D A=DB ，∠C =∠DBC ，以AB 为直径的O ⊙交AC 于点E ，F 是
O ⊙上的点，且AF ＝BF ． （1）求证：B C 是O ⊙的切线；
（2）若sin C =5
3
，AE =23，求sin F 的值和AF 的长． D A O A
H A
A E A
M A F A
A
D
H C E G F
O
A F
E O D
20．已知：如图，点A 、B 在⊙O 上，直线AC 是⊙O 的切线，联结AB 交O C 于点D ，AC =CD ． （1）求证：OC ⊥OB ； （2）如果OD =1，tan ∠OCA =
5
，求AC 的长．
20．如图，AC 、BC 是⊙O 的弦, BC //AO , AO 的延长线与过点C 的射线交于点D , 且∠D =90︒-2∠A .
（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，1
tan 2
D =
，求CD 和AD 的长．
20、如图，△ABC 接于⊙O ，AD 是⊙O 直径，E 是CB 延长线上一点，且∠BAE =∠C. （1）求证：直线AE 是⊙O 的切线； （2）若EB=AB ，5
4
=E cos ，AE =24，求EB 的长及⊙O 的半径. O D C B
A O
D
C
B
•
A
B
E
O
D
C
A
B
19. （本题满分5分）
已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点, 交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：AC 与⊙O 相切； （2）当BD=6，sinC=
5
3
时，求⊙O 的半径．
20. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 边相切于点
D ，联结AD.
（1）求证：AD 是∠BAC 的平分线；
（2）若AC = 3，tan B =3
4
，求⊙O 的半径.
21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与 ⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于点E ．
（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4
cos 5
BAC ∠=，求DF AF 的值．
圆与相似：
21．如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D ，过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E ，延长AB 、ED 交于点F ，AD 平分∠BAC ．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径 为2，AE =3，求BF 的长．
20．如图，四边形ABCD 接于O ，BD 是O 的直径，AE CD ⊥于点E ，DA 平分BDE ∠． （1）求证：AE 是O 的切线； （2）如果AB =4，AE =2，求O 的半径．
20．已知，如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是⌒
AD 的中点，连结BE 交AC 于点G ，BG 的垂直平分线CF 交BG 于H 交AB 于F 点.
（1） 求证：BC 是⊙O 的切线； （2） 若AB =8，BC =6，求BE 的长.
22.如图，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点.
求证：（1）DE 为⊙O 的切线；（2）延长ED 交BA 的延长线于F ，若DF =4，AF =2，求BC 的长
.
圆，三角函数，相似
20.已知：如图，在△ABC 中，AB AC =．以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E .
(1)求证：DE 与⊙O 相切；
(2)延长DE 交BA 的延长线于点F .若6AB =，sin B =5
,5
求线段AF 的长.
20. 如图，⊙O 是△ABC 是的外接圆，BC 为⊙O 直径，作∠CAD =∠B ，且点D 在BC 的延长线上．
(1)求证：直线AD 是⊙O 的切线；
(2)若sin ∠CAD =2
4
，⊙O 的半径为8，求CD 长．
D
A
C O
20．如图，在△ABC 中，AB=AC ，以A C 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作FE ⊥AB 于点E ，交AC 的延长线于点F ．
(1) 求证：EF 与⊙O 相切； (2) 若AE=6，sin ∠CFD=3
5
，求EB 的长．
21. 如图，△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，CA 是⊙O 的切线， AE 平分∠BA C 交BC 于点E ，交CD 于点F ． （1）求证：CE =CF ； （2）若sin B =3
5
，求DF ∶CF 的值．
20.如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙Ο分别交AC 、BC 于点D 、E ，点F 在AC 的延长线上，且.CAB CBF ∠=
∠2
1
⑴ 求证：直线BF 是O 的切线；
⑵ 若AB=5，5
5
sin =∠CBF ，求BC 和BF 的长.
O
E
F
C
D
20．已知：如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，OD BC ⊥于点D ，过点C 作O ⊙的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．
（1）求证：BE 与O ⊙相切；
（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若9OB =，2
sin 3
ABC ∠=，求BF 的长．
20．如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E 。

（1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan ∠PDA=4
3
，求OE 的长。