0
0
260 8 (0.03 1.7) 2 5 0.2 s2 2104 . 6 s / m 3.142 0.24 9.807
吸液面与水箱液面能量方程为：
z1 p1


1v12
2g
2g
H z2
p1
p2


2 2v2
2g
0
hl12
1v12
2g

2 2v2
1
p1
v1
P1’ 1 Z
1
Z
1、计算断面的选取，一般选在压强或压差已知的渐变流断面上， 并且使所求的未知量包含在所列的方程之中。 2、基准面的选取，可以是任意的，但为了计算方便，一般选在下 游断面中心、管流轴心或其下方，避免位置水头z出现负值。对于 不同的计算断面，必须选取同一基准面。 3、压强基准的选取，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但方 程式两边必须选取同一基准。工程上一般选取相对压强。 4、由于方程的推导用到了均匀流过流断面上的压强分布规律，因 此，断面上的压强p和位置高度Z必须取同一点的值，该点可以在 断面上任取，对于管流，通常选在管轴中心点。当选取管流出口 断面列方程时，应选断面中心作为写方程的代表点。 5、能量损失一项应加在流动的末端断面即下游断面。能量损失值， 或按理想流体处理，或直接给出，或由已知条件计算出。
2 v2 H 2g
v2 2gH 2 9.807 4 8.9m / s
水流在两段管道中的流动符合连续性方程，即流 速与断面面积成反比
V1 S 2 V2 S1
s2 0.1 v1 v2 8.9 4.45m / s s1 0.2
（2）为求A点压强，必须在A 点取断面，另一断面取在和 大气相接的水箱水面或管流出口断面，现在选择在出口断 面。对A点所处断面及出口断面列能量方程： 2 2 pA vA p2 v2 zA z2 2g 2g
0


p2

z1 0 0 H z2 0 0 sQ2
H ( z2 z1 ) sQ 2
hl12 sQ2 (s1 s2 )Q2
hl12 (118.6 2104 .6) 0.042 3.56m
（3）总水头线H在图上以蓝线示出
0 0
应用能量方程解题的一般步骤及注意事项：
6、若两断面间有能量的输入输出时，方程式改写为
z1
p1


1v12
2g
H z2
p2


2 2v2
2g
hl12
H1 H H 2 hl12
式中 +H表示单位重量流体获得的能量；-H表示单位重量流体失去 的能量。
（三） 实际应用
毕托管是一种测量水流或气流中任意一点流速的仪 器。测量流速时，把毕托管前部的小孔正对来流方向，放 入流体中的欲测点处，而毕托管上部接头则分别接测压管 或比压计。
2 2 u1 u2 ( p1 rZ1 )dQ ( p2 Z 2 )dQ 2g 2g
p1
2 2 u1 p2 u2 Z1 Z2 2g 2g
理想流体方程
元流中（即流线上）单位重力在两个断面之间的流 程上损失的机械能，称作元流的水头损失，以h’w表示。
2 1 2 gh
4.2.3 总流能量方程的应用
气体能量方程 Z=0处大气压强为pa0
γa
γ
2 v2
p2 P2’ 2
pa ( z) pa 0 a gz
P V P V Z1 Z2 hw g 2 g g 2 g
' 1 2 1 1 ' 2 2 2 2
z A z2 0
v A v1
p2

0
pA
2 v12 v2 2g 2g
2 2 pA 1 v2 v12 (0.5v2 ) 2 1 v2 1 H 00 H H H 0 4 2g 2g 4 2g 4 2g
3 3 p A H 9807 4 29.4kp a 4 4
2
1
gQ
A
p u g(z ) dQ g 2g
2
u 1 u dA 1 动能修正系数： AAgdQ V gQ A1 2g gQ

21
3
A
1
V 2g
p u 1 Q (z ) gdQ Q A1 2g g gQ
第四章 流体动力学基础
4.1 4.2 4.3 4.4 流体运动微分方程 实际流体的能量方程 恒定流的动量方程 理想流体的无旋流动
4.1
流体运动微分方程
（4-2）
4.2
实际流体的能量方程
1 1’ utdt dA1 2
4.2.1元流的伯努利方程
p1
dA2
Z1 Z2
2 u2dt
p2
0
0
该段元流外力作功等于机械能量增加的方程式。
而实际流体的伯努利方程为：
P V P2 V 1 Z1 Z2 hl12 g 2 g g 2g
2 1 1 2 2 2
hl12 1，2两断面之间的平均单位水头损失
（二 ） 例题解析
例题1. 如图所示，由断面为0.2m2和0.1m2的两根 管子所组成的水平输水管系从水箱流入大气中：若不计损 失，(1)求断面流速v1和v2；（2）求进口A点的压强。 绘制总水头线及测压管水头线。
1
1
H=4m
式中，
z1 H ,
p1


p2
0 , z 2
0
s1=0.2m2 0 v1
s2=0.1m2 v2
2
0
2
当水箱断面积比管道断面积大得多时，水箱断面处的流速较小， 流速水头很小，可忽略不计，则
1v12
2g
0
取
代入方程得：
1 2 1
2 v2 H 00 00 2g
2
1
z2 p2 c2 g
2
在流管1 p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2
2
式中各项表示各点单位重量流体的能 量，分别乘上微元重量再对总流积分， 然后再用流管的重量除之，得总流平均 单位重量流体的能量：
1
gQ
A
p u g(z ) dQ g 2g
2
A
1
2 V V gdQ 2g 2g
2

V
2
一般工程应用：层流α＝2，紊流α＝1如 不特别指出α取1。 故总流的伯努利方程为：
p1 V p2 2V2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1 1
2
使用条件：
定常流动： 理想流体：流体不可压： 质 量力为重力： 两截面处为缓变流。
实际流体方程
• 恒定流;理想流体;不可压流体;质量力只有重力;方 程沿流线成立。
p u z c g 2g
p1 u p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2 1 2
2
p1 u1 p2 u2 z1 z2 g 2g g 2g
2
2
z—单位重量流体的位能：位置水头
例题2 如图所示水泵抽水系统，管长、管径单位为米，ζ给于 图中，流量Q=40L/s，λ=0.03。求（1）吸水管和压水管的 阻抗值；（2）水泵所需水头。（3）绘出系统的总水头线
代入数据
l 8( ) d s 2d 4 g
20 3.2) 2 5 0.25 s1 118 . 6 s / m 3.142 0.252 9.807 8 (0.03
p1dA 1u1dt p2 dA 2u2 dt ( p1 p2 )dQdt
2 2 dQdt u2 u1
g
(
2
2 2 u2 u1 ) dQdt( ) 2g 2g
dQdt( z2 z1 )
2 2 u2 u1 ( p1 p2 )dQdt dQdt( Z 2 Z1 ) dQdt( ) 2g
例3 毕托管测速原理：
如图，沿中心流线写伯努利方程，此时
z A z B uB 0
pA u pB u g 2g g 2g
2 uA p pA B 2g g
h
2 B
2 A
HA A B
HB
驻点
pA gH A pB gH B
p pA uA 2g B 2 gh g
p g
—单位重量流体的压能；压强水头 —单位重量流体的动能；流速水头 —单位重量流体的势能：测压管水头 —单位重量流体的总机械能： 总水头
u2 2g
p z g
p u2 z g 2g
在缓变流断面上（流线的法向），各点
的测压管水头为常数，不同截面常数不同。
1
z1 p1 c1 g
(3)
H=4m s1=0.2m2 A s2=0.1m2
v1
v2
解：整个流动是从水箱液面通过水箱经管道流入大气中， 选管子中心线所在水平面为0-0基准面， 选取水箱液面为1－1断面， 管子出口断面为2－2断面，列1－1至2－2断面间的能量方程：
2 p1 1v12 p2 2v2 z1 z2 2g 2g
1
h
HA
A B
HB
h
2
0点为总压测点，相当于点B；1点为静压测点，相当 于点A。 p0 p1 2 g 1 g

1 g 1 g p0 p1 2 g 1 g 2 1 u1 2 g 2 gh 2 gh 1 g 1 g 1

u1 2 g
2 gh