极坐标与参数方程取值范围问题一．解答题（共12小题）1．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．3．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a ＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C普通方程；（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．9．（选修4﹣4：极坐标系与参数方程）极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．10．已知直线C1：（t为参数），曲线C2：ρ+=2sin（θ+）．（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）求直线C1被曲线C2所截的弦长．11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos （θ+）（1）求直线l的参数方程（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．极坐标与参数方程取值范围问题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）由ρ= 得ρsin2θ=8cosθ，∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=8x，∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．（2），即y=2x﹣4，代入y2=8x得 x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，x1•x2=4，∴|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=10．3．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a ＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C普通方程；（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．∵曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），消去参数φ得，把点（2，0）代入上述方程得a=2．∴曲线C普通方程为．（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，∴====+=．4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．【解答】解：（I）圆锥曲线C的极坐标方程为，即3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．==．∴要求的直线方程为：y=（x+1）．（II）由（I）可得直线的参数方程为：（t为参数）．代入椭圆方程可得：5t2﹣4t﹣12=0，∴t1t2=﹣．∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=．5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．【解答】解：（I）∵曲线C1上的点对应的参数ϕ=，∴，解得，∴曲线C1的直角坐标方程为：=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点．∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：=1．可得．∴=+===．6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P 作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），∴x==1，y==1，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．【解答】解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0由已知得C1的直角坐标方程是，当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），∵|AB|=4，∴a=2，C1的直角坐标方程是①（2）联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．又可得D（1，0），∴，∴BD的参数方程为（t为参数）②将②带入①得，设D，E点的参数是t1，t2，则，．8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ则x2+y2=2x﹣2y，即圆C在直角坐标系中的标准方程为（x﹣）2+（y+1）2=4；（Ⅱ）A（，2π）的直角坐标为（，0），圆C的圆心坐标为（，﹣1），∵圆心C为线段AB中点，∴点B的坐标为（，﹣2），AC=BC=1，设∠ACP=θ，而PC=2，则PA==，同理PB=，∴|PA|•|PB|=•=≤5，当且仅当cosθ=0时取等号，∴|PA|•|PB|的最大值为5．9．（选修4﹣4：极坐标系与参数方程）极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．【解答】解：圆化为直角坐标方程得：x2+y2=2直线，即ρcosθ﹣ρsinθ=1，化为直角坐标方程为：x﹣y=1，即x﹣y﹣2=0∴圆心（0，0）到直线的距离d==1故圆上动点到直线的最大距离为+1，最小距离为0故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0，+1]10．已知直线C1：（t为参数），曲线C2：ρ+=2sin（θ+）．（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）求直线C1被曲线C2所截的弦长．【解答】解：（1）由，得3x﹣4y=0．由ρ+=2sin（θ+），得=2sinθ+2cosθ．即ρ2+1=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2﹣2x+y2﹣2y+1=0；（2）由x2﹣2x+y2﹣2y+1=0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴曲线C2是以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．圆心到直线3x﹣4y=0的距离为．∴直线C1被曲线C2所截的弦长为2．11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos （θ+）（1）求直线l的参数方程（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）∵，∴直线的倾斜角α=，∴直线的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）（2）∵ρ=2（cosθ﹣sinθ）=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2﹣x﹣y=0，将直线的参数方程代入得t2+2t+6﹣2=0，∴|t1t2|=6﹣2．12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：P的直角坐标为（0，2）…（2分）曲线C的直角坐标方程为x2+y2+4x=0…（4分）直线l的参数方程为…（6分）带入曲线C的方程t2+4t（sinθ+cosθ）+4=0…（8分）∵t1t2=4＞0，∴|PM|+|PN|=（12分）。