蚌埠市2020届高三年级第一次教学质量检查考试
数 学(理工类)
(试卷分值：150分 考试时间：120分钟)
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1已知i 为虚数单位，复数Z 满足(1＋2i)z ＝－2＋i ，则｜z ｜＝
B1 5 D5 2已知集合A ＝{x ｜y ＝log 2(x －1)}，B ＝{x ｜(x ＋1)(x －2)≤0}，则A∩B ＝ A(0，2] B(0，1) C(1，2] D[2，＋∞) 3已知0＜a ＜b ＜1，则在a a ，a b ，b a ，b b 中，最大的是 A. a a B. a b C. b a D. b b
4用模型y ＝ce kx 拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝lny ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋2，则c ＝ A.e 2 B.e 4 C.2 D.4 5已知m ，n ∈R ，则“
10m
n
－＞”是“m －n ＞0”的 A 既不充分也不必要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 充要条件 6执行如程序框图所示的程序，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为
A.3
B.5
C.7
D.9
7若直线l ：y ＝kx －2k ＋1将不等式组2010220X Y X Y ≤≤≥⎧⎪
⎨⎪⎩
－－＋－表示平面区域的面积分为1：2两部分，则实数k 的值为
A.1或
14 B.14或34 C.13或23 D.14或13
8定积分
2
232
(4sin )x x x dx --+⎰
的值是
A.π
B.2π
C.2π＋2cos2
D.π＋2cos2
9已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，若三棱锥P －ABC 23
，则球O 的表面积为 A.16π B.20π C.28π D.32π
10已知椭圆C ：22
2210()x y a b a b
＋＝＞＞的焦距为23椭圆C 与圆(x 3)2＋y 2＝16交于M ，N 两点，且｜MN ｜
＝4，则椭圆C 的方程为
A.2211512x y ＋＝
B.221129x y ＋＝
C.22163x y ＋＝
D.22196
x y ＋＝ 11已知函数f(x)＝asinx ＋cosx ，x ∈(0，
6
π
)，若12x x ∃≠，使得f(x 1)＝f(x 2)，则实数a 的取值范围是 A. (0
B.(03) 33) D. (0312已知棱长为l 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点P 是四边形BB 1D 1D 内(含边界)任意一点，Q 是B 1C 1中点，有下列四个结论：
①0AC BP ⊥＝；②当P 点为B 1D 1中点时，二面角P －AD －C 的余弦值1
2
；③AQ 与BC
所成角的正切值为；④当CQ ⊥AP 时，点P 的轨迹长为32
其中所有正确的结论序号是
A ①②③
B ①③④
C ②③④
D ①②④ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13已知平面向量a ＝(－3，4)与A(1，m)，B(2，1)，且a ∥AB ，则实数m 的值为
14已知定义在R 上的奇函数f(x)，对任意x 都满足f(x ＋2)＝f(4－x)，且当x ∈[0，3]，f(x)＝log 2(x ＋1)，则f(2019)＝
15蚌埠市大力发展旅游产业，蚌埠龙子湖风景区、博物馆、张公山公园、花鼓灯嘉年华、禾泉农庄、淮河闸水利风
景区都是4A 风景区，还有荆涂山风景区、大明御温泉水世界、花博园等也都是不错的景点，小明和朋友决定利用三天时间从以上9个景点中选择6个景点游玩，每个景点用半天(上午、下午各游玩一个景点)，且至少选择4个4A 风景区，则小明这三天的游玩有 种不同的安排方式。
(用数字表示)
16已知220
(0
),,x x x f e x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－=＞，若方程f(x)＝m(m ∈R)恰有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2的最
大值是
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17(10分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos(A －B)＝45，且A ＜B ，tanB ＝4
3。
(1)求tanA ；
(2)若b ＝2，求△ABC 的周长。
18(12分)
设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，满足S n －2S n －1＝n(n ≥2，n ∈N*)，且a 1＝1。
(1)求证：数列｛a n ＋1｝是等比数列； (2)若1
2(1)n a n n b log a ＋＝＋，求数列｛b n ｝的前n 项和T n 。
19(12分)
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥平面PAB ，PB ＝PA ＝AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 为线段PB 的中点。
(1)证明：AE ∥平面PDC ；
(2)求直线DE 与平面PDC 所成角的正弦值。
20(12分)
某高铁站停车场针对小型机动车收费标准如下：2小时内(含2小时)，每辆每次收费5元；超过2小时不超过5小时，每增加一小时收费增加3元，不足一小时的按一小时计费；超过5小时至24小时内(含24小时)收费15元封顶。
超过24小时，按前述标准重新计费为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率。
(1)X 表示某辆车在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望E(X)；
(2)现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用少于E(X)的车辆数，求P(ξ≥2)的概率。
21(12分)
已知点A ，B 是抛物线C ：y 2＝2px(p ＞0)上关于x 轴对称的两点，点E 是抛物线C 的准线与x 轴的交点。
(1)若△EAB 是面积为4的直角三角形，求抛物线C 的方程； (2)若直线BE 与抛物线C 交于另一点D ，证明：直线AD 过定点。
22(12分) 已知函数()()ln 1x a a x
f x
g x ae x
－=
，=-，且y ＝x －1是曲线y ＝f(x)的切线。
(1)求实数A 的值以及切点坐标； (2)求证：g(x)≥f(x)。