习题三1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD。

它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。

（1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域；（2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。

解：（1）作DE ⊥AB 于 E 连DB，则∠ADB = 90°∴ADB∽AED ∴AD AB = AE AD 2 AD 2 ∴AD = AE ? AB ∴AE = AB 又Q DC = AB ? 2 AE ∴y = DC + AB + 2 AD = AB ? 2 AE + AB + 2 AD AD 2 = 2r ? 2 + 2r + 2 x AB 2x2 = 2r ? + 2r + 2 x 2r x2 = 4r ? + 2 x r x2 = ? + 2 x + 4r . r x2 又Q x > 0 ，且= AE < r ，即x < 2r 2r ∴函数的定义域为（0，2r）。

（2）y = ? (r ? x) 2 + 5r ，所以当腰长x=r 时，周长y 有最大值5r.2、设函数y = f ( x) 定义在R 上，当x>0 时，f ( x) > 1 ,且对于任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 又当m ≠ n 时，f (m) ≠ f (n). 求证：（1）f (0) = 1. （2）对于任意x ∈R ，均有f ( x) > 0.证明：（1）Q对任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 1 r ∴令m=n=0,则有f (0 +0) = f (0) + f (0) 即f (0) = f (0) + f (0) . ∴f (0) ? [ f (0) ? 1] = 0. ∴f (0) = 1 或f (0) = 0. 若f (0) = 0.则对于任意m>0,有f ( m) = f ( m + 0) = f ( m) ? f (0) = 0 和题设矛盾。

因此，f (0) =1.（2）由题设和（1）的结论，当x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1 > 0 ，假设x < 0 ，则? x > 0 ，因而 f (? x) > 1。

但是 f ( x) ? f (? x) = f ( x ? x) = f (0) = 1 所以， f ( x) = 1 > 0. f (? x)3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。

（1）f ( x) = lg x 2 , （2）f ( x) = x , g ( x) = 2lg rx . g ( x) = 3 x 3 .解：（1）是同一函数。

因为定义域相同：x ∈R ? {0} . 且对每个x,对应值也相等。

（2）不是同一函数。

因为当x<0 时，f ( x) > 0 ，而g ( x) < 0 .4、求下列函数的定义域（1）y = (4 x ? 5) + 8 ?1 x （2）y = log (2 x?1) (3 x ? 2) （3）y = log 0.5 (log 2 x 2 + 1) （4）y = 7? x?2 lg(9 ? 3x ) （5）y = 1 ? ( ) 2 x?1 （6）y = lg x + lg(5 ?2 x ) （7）y = arccos(2 x 2 ? x) （8）y = arcsin( x ? 1) + 13 1 5x ? 1 14 （9）y = sin x ? 1 + (1 ? sin x ) （10）y = lg cos3x ?4 x ?5 ≠ 0 ? ?8解：（1）Q ? ? 1 ≥ 0 ? x ? x ≠0 ? 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? x ≤ 8 ?x ≠0 ? ? 5 4 5 4 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? ?8 ≤ x ≤ 8 ? x≠0 ? ? ∴函数定义域为：[?8,0) U (0, ) U ( ,8] . ?3 x ? 2 > 0 ?（2）Q ? 2 x ? 1 > 0 ?2 x ? 1 ≠ 1. ? 2 3 2 ? x> ? 3 ? 1 ? ∴?x > 2 ? ? x ≠1 ? ? ∴函数的定义域为：( ,1) U (1, +∞). ?log 0.5 (log 2 x 2 + 1) ≥ 0 ?（3）Q ? log 2 x 2 + 1 > 0 ? x2 > 0 ? ? 0 < log 2 x 2 + 1 ≤ 1 ? ∴?log 2 x 2 > ?1 ?x≠0 ? ?2-1 ≤ x 2 ≤ 1 ? ∴? x 2 > 2?1 ?x ≠ 0 ? ? 2 2 ≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ? ? 2 ? 2 ? 2 2 或x<? ? x> ∴? 2 2 ? ? x≠0 ? ? ? 2 2 函数定义域为：[(?1, ? )U( ,1)] . 2 2 ?lg(9 ? 3x ) ≠ 0 ? Q（4）? 9 ? 3x > 0 ?7 ? x ? 2 ≥ 0 ? ? x ≠ log 3 8 ? ∴? x < 2 ??5 ≤ x ≤ 9 ? ? 9 ? 3x ≠ 1 ? ∴? 3x < 9 ? x?2 ≤ 7 ? ? 3x ≠ 8 ? ∴? 3x < 32 ??7 ≤ x ? 2 ≤ 7 ? ∴log 3 8 < x < 2 或?5 ≤ x < log 3 8 ∴函数定义域为：[(?5,log 3 8) U (log 3 8, 2)].（5）Q1 ? ( ) 2 x?1 ≥ 0. 1 3 ∴( )2 x?1 ≤ 1. ∴ 2 x ? 1 ≥ 0. ? log x ≥ 0 ?（6）Q ? x > 0 ?5 ? 2 x > 0 ? 1 3 ∴1 ≤ x < log 5 2 1 1 ∴函数定义域为[ , +∞] 2 2 x ≥1 ? ? x ≥1 ? ? ∴? x > 0 ∴? x > 0 5 ? ?2 x < 5 ? x< ? 2 ∴x ≥ 5 ∴函数定义域为：[1, ) . 2（7）Q ?1 ≤ 2 x 2 ? x ≤ 1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ≤ 0LL ①∴? 2 ?2 x ? x + 1 ≥ 0LL ② 1 ? ?由①? ≤ x ≤ 1 ∴? 2 ?由②x ∈R ? ∴函数的定义域为：[1, ) . ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1（8）Q ? ? 5x ? 1 > 0 1 5 ?0 ≤ x ≤ 2 1 ? ∴? ∴<x≤2 1 5 x> ? 5 ? 5 2 ∴函数的定义域为：( ,2].（9）Q ? ?sin x ? 1 ≥ 0 π ∴sin x = 1 ∴x = + 2kπ .k ∈Ζ. 2 ?1 ? sin x ≥ 0 ∴函数的定义域为：? x x = ? ? π ? + 2 kπ , k ∈Ζ ? . 2 ?（10）Q cos3 x > 0 ∴2kπ ? π 2 < 3x < π 2 + 2 kπ . ∴ 2 kπ π n 2 kπ ? x< + , k ∈Ζ. 3 6 6 3 ∴函数的定义域为：? x ? 2 kπ π 2 kπ π ? ? <x< + , k ∈Ζ.? 6 3 6 ? 3 ?5、（1）已知函数f(x)的定义域是[1,4]，求f ( 1 ) 的定义域。

x2（2）已知函数f(x)的定义域是[-2,2]，求f ( x ) 的定义域。

（3）已知函数f(x)的定义域是( ,3) ， f (lg x) 的定义域。

解：（1）Q1 ≤ 1 2 1 ≤4 x2 ? 2 1 ?x ≥ ∴? 4 2 ? x ≤1 ? 1 1 ? ?x ≥ x 或≤ ? ∴? 2 2 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ?1 1 ∴≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ?2 2 1 1 1 ∴函数f ( 2 ) 的定义域为[ ,1] U [?1, ? ] . x 2 2（2）Q ?2 ≤ x ≤2 ∴0 ≤ x ≤ 4 ∴函数定义域为[0, 4] . ?1 ? < lg x < 3（3）Q ? 2 ? x>0 ? ∴10 < x < 103 ∴函数定义域为( 10,103 ). 1 ?1 6 、设函数 f ( x) = ( x ? 4kx + 4k + k + ) 2 (k ∈Ζ). 求证k ?1 f ( x) 的定义域为实数集R 的充要条件是k > 1. 2 2 1 2 1 ? 3 2 ? ∴?lg10 < lg x < lg10 ? x>0 ? 证明： 1 ?2 Q f ( x) = ( x ? 4kx + 4k + k + ) (k ∈Ζ). k ?1 2 2 1 ∴f ( x) 的定义域为实数集R 的充要条件是对任意x ∈R ，有x 2 ? 4kx + 4k 2 + k + （*）成立的充要条件是1 > 0LL (*) k ?1 1 ) < 0. k ?1 4 <0 即16k 2 ? 16k 2 ? 4k ? k ?1 1 k 2 ? k +1 ∴k + >0 ∴> 0. k ?1 k ?1 ∴k > 1. = (4k ) 2 ? 4(4k 2 + k + ∴f ( x) 的定义域为实数集R 的充要条件是k > 1. 7、求下列函数的值域：x2 + x （1）y = 2 x + x +1 7（2）y = cos x + sin x + 3（3）y = lg(?3 x 2 + 6 x + 7)（4）y = 2 + 2x ?1 x ?1（5）y = 2 x ? 3 + 13 ? 4 x 2（6）y = 4 x ? 3 + 4 x + 4 x ? 3 e x ? e? x（7）y = x e + e? x 2x（8）y = 1 + lg x (1 < x < 2) 2 +1 1（9）y = 3arccos( x ? ) 2（10）y = arcctg 2 x ? 1 (0 ≤ x ≤ 2) x2 + x ，有：x 2 + x = y ( x 2 + x + 1)解：（1）由y = 2 x + x +1 ∴( y ? 1) x 2 + ( y ? 1) x + y = 0. Q x 2 + x ≠ x 2 + x + 1. ∴y ≠ 1. Q x ∈R. ∴= ( y ? 1) 2 ? 4( y ? 1) y ≥ 0 ∴3 y 2 ? 2 y ? 1 ≤ 0. ? 1 ?? ≤ y ≤ 1 ∴? 3 ? y ≠1 ?1 ∴函数值域为[? ,1). 3（2）Q cos x + sin x = 2( 2 2 cos x + sin x) 2 2 = 2(sin 又Q ? 2 ≤ 2 sin( π 4 cos x + cos π sin x) = 2 sin( + x). 4 4 π π 4 + x) ≤ 2 ∴3 ? 2 ≤ cos x + sin x + 3 ≤ 3 + 2 ∴∴7 7 7 ≤ ≤ (3 + 2) cos x + sin x + 3 3 ? 2 7(3 ? 2) 7 7(3 + 2) ≤ ≤ (3 + 2)(3 ? 2) cos x + sin x + 3 (3 ? 2)(3 + 2) 7 ≤ 3+ 2 cos x + sin x + 3 ∴3 ? 2 ≤ ∴3 ? 2 ≤ y ≤ 3 + 2 ∴函数值域为[3 ? 2,3 + 2].（3）设u = lg(?3 x 2 + 6 x + 7), v = ?3 x 2 + 6 x + 7 = ?3( x ? 1) 2 + 10. 又Q u = lg(?3 x 2 + 6 x + 7) 为增函数∴y = u 也是增函数。