初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案第一章数1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i满足r - _1，和有序实数对（a,b）—起组成一个复数a bi .2 （略）3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：为了保证在自然数集中除法的封闭性，像ax=b的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集•为了表示具有相反意义的量，引入了负数•并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用•这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集•4证明：设集合A,B,C,D两两没有公共元素a,b,c,d分别是非空有限集A,B,C,D的基数，根据定义，若a b，则存在非空有限集A'，使得A-〜B ;若c_d从而必存在非空有限集C'，使得C二C'〜D，所以（A _• C）二（B D）所以集合A 一C的基数a c大于集合B . D的基数b d，所以a c b d .5（1）解：按照自然数序数理论加法定义，5 3 =5 2'= （5 2） 5= 515=5155=5 5 5 =15（2）解：按照自然数序数理论乘法定义5 ^5 2' = （5 2）'-（5 1'）'二[（5 1）']'=（6 ） =7 =86证明：1当n =2时，命题成立.（反证法）当 n = k • 1时，由 a i . 0,i =1,2，…,k 1,且 a i - a 2 得，亠 空L ",且 41—a k 半 1 —a k 书 1— a k+1_a kH1、2 _ 22口 )+a k J 启，即 (k +111 —a^ )2 + k(k +1 alkk 1二 k 1 ?a k 「-2 k 1 a k 11 - 07证明：1当n = 8时，命题成立.（8 = 3 • 5 ）2设n 二k （k ・7,k ・N ）时命题成立.k 角邮资可能是：（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付•在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付k 1 角的邮票•在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付k 1角的邮 票•综合1、2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8 证明：（1） f2=1, f3 =3=12, f4 =6 = 123」 」 1」(2) f n =12n -1 n n -121当n =2,3,4时，命题成立.12假设n 二k （k 7,^ N ）时命题成立，即f k =-k k -1 .那么n 二k 1时，原k21条直线有-k （k -1）个交点.由条件知，第k 1条直线与原k 条直线各有一个交点，2且互不相同•故新增k 个交点，所以f k ・1二f k 」k ，1〔k ，1 -1.2综合1、2，命题对于不小于2的所有自然数成立.2 假设 n =k 时(k _2)成立，即 a i ■ 0,i =1,2,…,k ,2 2 a1a 221 ■ akka 1 a 2 J - a k 卅丿22 2221 —a k 12a 1 七 2 +…+a k +a “ >-__+a “由归纳假设，得a 1J —a k 卑 ja kJ一 akd4 j要证-k,9举例：正整数集N上定义的整除关系“|”满足半序关系.证明：（1）（自反性）任意的正整数x，总有x|x ；（2）（反对称性）如果x|y, y |x，那么x = y ；(3)(传递性)如果x|y, y|z，那么x|z.通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.10证明：设M 5 N，且① 1 M②若a M，则a M .若M = N .令A是所有不属于M的自然数组成的集合，则A是N的非空子集，按照最小数原理，A中有最小数，设为b.由①知b=1，于是存在自然数c，使c二b，这样就有c ::: b，所以c M，但根据②有c M，这与b ■' M矛盾.所以M = N .11证明：(1)根据自然数减法定义有，a=b・(a_b),d ・(c_d) = c，两式相加得：a d (c-d) = b (a-b) c，于是(a d) (c -d) = (b c) (a - b)，若a-b=c-d，贝U a d = b c若 a d = b c，贝U a-b=c-d(2)(a-b) (c-d) (b d) = b (a-b) d (c-d)=a c(3)先证(a-b)c 二ac-bc事实上，由be (a -b)c 二[b (a -b)]c 二ac可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.由此，为了证明(3)，只要证明a(c-d)-b(c— d) = (ac+bd)—(ad+bc)，根据(1) 上式就是a(c _d) (ad be)二b(c - d) (ac bd)于是只要证明ac • be二be - ac显然，这个等式是成立的，所以(3)成立.12证明：(1 )根据自然数除法定义有^b a,d £ = c，两式相乘，得b dad — = bc 旦，所以有：若ad 二be，贝U -=—；若-=—，贝q ad 二bed b b d b d(2)bd(a ' c)二d(b 旦厂b(d —) =ad，bc，根据除法定义，(2)成立.b d b d(3)bd(a c^ (b a)(d c^ac，根据除法定义，(3)成立.b d b d13 证明：(m n ')'= (n m)' = n' m' = m' n'.14证明：设-a,b・N，下，下面证明a二b,a . b,a ::: b三种关系有且仅有一个成立.(1)先证明三个关系中至多有一个成立.假若它们中至少有两个成立，若令a=b, a . b同时成立，则存在k^N*，使得：a=bk=ak于是a a a，与a=a矛盾.同理可证，任意两种关系均不能同时成立.(2)再证明三中关系中至少有一个成立.取定a，设M是使三个关系中至少有一个成立的所有b的集合，当b=1时, 若a = 1，则a = b成立；若a = 1，则存在k N *，使得a = k时a >b成立.因此1€ M .假若b M，即三个关系中至少有一个成立.当 a ::: b时，存在m • N *，使得 b = a • m，则b^ (a m)=a m，即卩a ：：： b 成立.当a b时，存在k • N*，使得a二b k，若k = 1，就有若k =1，就有| • N，且k =丨，使得a=b，l二b，IT二b l，即a b成立.综上，b M，从而M = N .15证明：n = n(ax by) = nax nby，a | n, ab|b n, ab|b ny ，b|n, ab | a n, ab |a nx.ab|nax nby = n16 证明：因为ab ■ cd - (ad ■ be) = (b -d)(a -c),且 a - e | ab cd ， a - e | (b _ d)(a _ c)，所以 a _ e | ab cd _ (b _ d )(a _ c)，即a -c | ad bc17证明：因为pP -1 = (p -1)(p p4 • p p‘• p • 1)，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而p p^ p p^ p 1是奇数，于是p p T =(p -1)(2s 1),s Z，同理有q q 1 = (q 1)(2t 1),t Z，两式相加：p p q q=2(p -1)(s t 1) ^(p q)(s t 1)，所以p q |(p p q q).18解：因为3p • 5q =31，所以3p 和5q 必为一奇一偶.若3p 为偶数，可验证质数p=2,q=5，则0g 2- Og 2- Og 2~ = -323q 13 5 1 8 若5q 为偶数，可验证质数P = 7, q = 2，则log 2 P log 2— 03q+13x2 + 1所以 log 2 P3或 0 .3q +119证明：根据减法是加法的逆运算知，设 a,b 是有理数，a —b 是这样一个数， 它与b 的和等于a •即(a —b) • b = a •但是，我们有[a (_b)] b =a [( -b) b](加法结合律)=a ■ 0 = a因此，a ^b)这个确定的有理数，它与b 的和等于a ，.a - b = a (-b)又如果差为x ，则有x • b =a ，于是，两边同加(-b)有:x b (一 b) = a (-b)x [b (—b)]二 a (—b) x = a (_b)即差只能是a • (-b)，定理得证. 3_b=2^J .03321证明：首先证明x 兰y 当且仅当- y 兰x 兰y .事实上，若x^y ，当xK0时，x=xWy 且x Z —y ，即一y 兰x 兰y ;当xc0时，一x = x^y, 有- y 兰 x ,且 x<0 兰 y ,故一yEx 兰 y .反之，若一yExEy ,当 下面来证明：a —b 兰a+b 兰a+|b.事实上，对于a,b 显然有：20证明：做差,x - 0时, =x _ y;当 x :： 0 时，y _ -x-a <a <\a-b <b<\b故有—(a b)乞a b乞a b .由上面的讨论知，a +b w|a + b .另一方面，a =|a + b— b 兰a+b + — b = a+b +|b .故 a — b 勻a +b 勻a +|b .22证明：(反证法)设其中p,q是正整数，不妨假定p,q互素，q取自然数n .q,用n!乘下列级数表达式两边：丄丄……1! 2! 3! 得：1 1n!e =n! n! n(n 一1) 3 亠亠1n+1 (n +1)( n+2)1 1令a n二n! n! n(n -1) 3 -1, b n：n 1 (n 1)(n 2)于是n!e=a n也，则n!e应为正整数，n!e-a n应为整数.但是1 1 10 < b n - (1 - - )n+1 n+2 (n +2)( n+3)1 1 1 n2 2(1 2…) 2n 1 n 2 (n 2) (n 1) n 1因为n 1,故0 ：：：b n门，即b n不可能是整数，产生矛盾,所以e是无理数.23证明：假设n a = P,(p,q) =1,q =1q两边n次方得a =芈,q但是(P,q)=1,所以(p n,q n) =1,q n"，所以a不是整数，这与已知条件矛盾，所以n a是无理数.24证明：假设log a b = —,P Z,q N，q所以a p=b q，因为(a,b) =1，所以(a p, b q) =1但是当pM时，上式明显不成立；当p 0时，上式与(a p,b q) =1矛盾.所以,log a b不是有理数，又可以证明log a b是实数，所以log a b是无理数.25证明：假设方程有有理数根x二卫,(P,q) =1,q 1，将x =-其代入方程，可得:q qp n = -q®卩心• a2p2q • a n q n')，由此可知q的任何素数因子r必可整除p n，因此r必可整除p，从而知r为p与q的公因子，但是(p,q) =1，所以r =1，所以q =1，这与q・1矛盾•所以整系数代数方程x n - a1X nJ- ■ a^ 0的任何非整实根均为无理数•26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部.27证明：将三次本原单位根x = •或• ‘2分别代入f (x):f （•，）».3m 1，3n 2 . 1 2 . 1 丸f （ .2）=（ .2）3m 1（ .2）3n 2 1 »2亠心亠1 丸因此，f （x）含有因式（x -，）,（x -「），而（x 八）・（x -「）=x x ^0所以(x2 x 1) | f (x)8证明(反证法)：若二与3.8的和是有理数a，即二• 3.8二a，则a - 3.8 =加. 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差a-3.8仍是有理数，与二是无理数矛盾，所以二与3.8的和是无理数.29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证2.2也是无理数，2— 2 Z、230不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如2 一2 = 0 . 31 解：由于 z ° =(x yi)° =(x 3 4 _y 2 2xyi)2 =(x 2 一 y 2)2 _4x 2y 2 4(x 2 一 y 2)xyi所以 z 5是纯虚数的条件是(x 2 一 y 2)2 -4x 2y 2 二 0， 4(x 2 -y 2)xy = 0 即 x =(一仁 一2)y,y =032证明：设G 是C 的任一子域，G 二R ，且在G 中方程z 2 有解z = j . 按照题意，要证明C^C .因为G c ,所以只需要证明G 二c .由j • G ，G c ，知j • c ，依C 的四则运算律，有 (i —j)(i j) =i 2 ji -ij - j 2 =0于是，i = j 或 i - - j .任取•…C ，由』:=x yi,(x, y R)， 知 =x yj 或 二 x _ yj又由于x, y, j G ，而G 是域，于是•…G ，因此G 二C .第二章习题及答案x1 .设 x 0,证明ln(1 x) :: x.1 +x1证明 取f(x)=ln(1 x).在(0, x)上有导数 厂(x)—.利用微分中值定理 1 +xx11x即 ln(1 x).又因 In(1 x)1,因此有 ln(1 x) ：： x.1+ r1+x 11 + x22 23 2 21 22.若x, y,z 均为实数，且x y a(a 0), x y ' z a .求证：2f ( ) _f(x)-f(0)x —0ln(1 x) -1 n(10) x - 0,0O I X L a,0 乞y 二a,0 I Z L a.3 3 31 1证明由x2• y2• (a -x -y)2a2有x2• ( y-a)x •(y2- ay a2) = 0.其判别2 41 o 式.：-(y - a) -4(y -ay a ) _ 0(因x R).从而，3y -2ay _ 0即0 _ y a.4 32 2同理可证0 _ x " a,0 _ z " a.3 33.设a, b, c表示一个三角形三边的长，求证：2 2 2a (bc 一a) b (c a - b) c (a b - c)乞3abc.证明不失一般性，设a X b^c,令a=c + m, b = c + n,则m^n > 0.有3abc _a2(b c _a) _b2(c a _ b) _c2(a b _c)=a(a _b)(a _c) b(b _c)(b _a) c(c _a)(c _ b)2 2二(c m)(m _n)m (c n)n(n _ m) cmn = (m _ n)[c(m _n) (m _ n )] cmn _ 0.2 2 2a (bc _ a) b (c a _b) c (a b _ c)乞3abc.4.设x, y E R,且x2+ y2兰1.求证:x2+2xy — y2<V2.证明设x2+ y2=k2,则由题设可知，|九| ",并可设x =人cos6 x = h sin日.于是x2 +2xy —y2=扎2 (cos2日+2cos日sin日一sin2日)-■ 2(cos2二sin 2二)-■ \ 2 sin( ).4x2 +2xy _y2|MT2.I a +b |5.已知a <1, b <1,求证 -------- <1.|1 + ab|证明欲证—~E <1成立，只需(一)2£1,即证(a +b)2c (1 + ab)2.|1 +ab| 1 +ab贝帜需(1 ab)2 - (a b)2 0,也就是1 a2b2 - a2 -b2 0,即证(1-a2)(1-b2)>0.而a <1, b <1,所以(1 —a2)(1 —b2) > 0 成立.命题得证.1 1n 门6.若' a i =1® 0),求丨丨(a i 一)-(n —)n.i =1 i a i n11 1 1a 1 22... 2 - a 1n 印 n a t n a t------ -------------- Y ----------------------n 2项1以上诸式，当且仅当a = —(i=1,2,…，n)是等号成立.诸式两端相乘得n+丄)心2 +丄)…(a . +丄)兰(『+1甘隹 V VI石.a 1 a 2 a n ； n 心念…耳)由已知 a a i -1 可得 n a 1a 2...a^1,(-)n J - n n ：i =1na ? ・・.a n)(a2 )•••(% )-(n ?〔八2『—n 』3，即 I 丨(ai)-(n)1V等号当且仅当 印=a 2二…=a n时成立.n7.证明：函数 f (X )= X 8 - X 5 ■ X 2 -X ■ 1 • 0. 证明(1)当x • (-：：,0)时,显然f (x)・0; (2) 当 x (0,1)时，f (x) = x 8 x 2(1「x 3) (1「x) 0; (3) X [1,：：)时,f(x) =x 5(x 3-1) x(x-1) 1 0.综合(1), (2),⑶可知，可知f (X)恒正.&证明 若a 王1(i=1,2,...,n),则丫亠心念…可十1)色(1 +厲)(1 + &2)...(1 +可). 证明用数学归纳法证明如下： 当n =1时，命题显然成立；假设命题对n 成立，我们来证明它对n 1也成立，注意到a i -1(i =1,2,..., n).n 1 nn 1nVI(1 a)乞(1a n1) 2n %【a i "Vil a iqa^ 1)i =1i =1i =1i =1证明 a i1a2a 21 n a “n 2项(印 (冃2-(n - 1)n 2n 2项1 — —n a nn a n-(n 21)n 21_(n 2 1)n 2a1 a2 a n ，n n v a i n= (2z 2 2xy)7.就是所要证的不等式.11.已知a,b 为小于1的正数，求证:■ a 2 b 2，..(1 — a)2 b 2，、a 2 (1 -b)2(1 — a)2 (1 — b)2 一2逅7332 2 2 310.设 x y z =0,求证：6(x y z )乞(x y z ).证明 显然x = y = z =0是平凡情形•假定x, y, z 不全为零，不妨设x 0, y ::: 0.由 z = -(x y),得 x 3 y 3 z 3 =3xy 乙记n 卑n 1n 1 =2 -[口 a +1+(n a i +a n(] =2 —[(口 a ： +1)+0 ai 丄n <1n An -1nT • I 丨a i -1| ] a , a n.1)]i4in 1= 2n([【3ii 4n 1n 1n 1•1)—2 ([[ q ・1・ | 丨 a^an 1)i =1 i 4n1)—2n 」[i 【a2n.1 —1) — (a n.1 -1)]i 4=2七【a i 1)-2n 」(a n-1)[H a -1)i Ain 1乞 2n (|〕3i1).故命题对n • 1成立. 9.设 a i _1( =1,2,..., n), 求证丨丨(1 aj_ 二(1 y a ? ... a .).v n 1证明ni 【(1 ai)i 1n= 2n i 【 i 吕 a _1(1 1 ) _2n (1 '、2y 2（吨冷=2n丄 n +1 n2门n［（nT ；/ 切百⑴：/）.I =6 (x 3y 3 z 3) 25x4y 2z 2 =22■z2<216再注意到 x 2 • y 2 =(x • y)2「2xy 二 z 2 2 xy ,因而 2z 2 2 x^ x 2 y 2 z 2,这证明 设 z = a bi,z 2 = (1 — a) bi,z 3 = a (仁 b)i,乙=(仁a)(仁 b)i,则Z i =Ja 2 +b 2 , Z 2 = J(1 —a)2 +b 2 , Z 3 =*(1 — a) +b ,引=J a 2 +(1—b)2 +J (1—a)2+(1—b)2 .乙 + Z2 + z 3 + Z 4 Z Z | + z 2 + z 3 + Z 4 = 2 + 2i = 2/2..、.a b .(1—a) b a (1 — b) 、.(1—a) (1—b) - ^2.12. 设 abc R ，+ 求证:a "+b “+c “ Aa p b q c r +a q b r c p +a r b p c q ,其中 n N , p, q, r ,且 p q r 二 n.n 丄 -n 丄 npa qb rc nnnnnn n乞qa rb pc, aHc q 乞 ra pb qc三式相加,即得 a n +b n +c n =a p b q c r +a q b r c p +a r b p c q .33322213. 设 a,b,c R ,求证：a b c - a b b c c a.证明 该不等式关于a,b,c 对称，不妨设a K b H e,则由左式-右式2 2 2 2 2 2=a (a _b) b (b _c) c (c _a) = a (a -b) b (b _c) c (c_b b _ a) -(a 2 -c 2)(a -b) (b 2 -c 2)(b -c) _0.故 a 3 b 3 c 3 _ a 2b b 2c c 2a.14. 已知a b 0,求证 3 a -3、b ：： 3 a -b.证欲证3a - 36 ：：： 3匸E,由于a b 0,所以3 a - 3b 0, 3匸b 0,只要证 a -33 a 2b 33ab 2—b ：a — b, 即要证 $ab 2 <*a 2b,由于 ^ab 0,只要证 3b ：： 3 a, 由于a b 0,此不等式显然成立.215. 若 p E R 且 p C2,不等式(log2^ + plog 2 x+1 A2log 2 x + p 恒成立,求实数 x 的取值范围.同理a q b r c p证明a p b q c rn nc ...c 二r解令log2x=a,将不等式转化为：(a T)p • a2-2a • 1 • 0,令x -xd 1二 / * x 1 JL x0, a.I ： 一 0.2「f(P )>0,f(p) =(a -1)p • a -2a 1,则 f(p) ■ 0恒成立,等价于：.f (一2) . 0.22(a -1) a -2a 10, =' 2-2(a -1) a -2a 10. —— 1 解不等式组得：a .3或a ：：： -1= x - 8或0 ：：： x .216.设e 是自然对数的底,-是圆周率,求证e 二■二e .证明因为匸一圧=lnxnex二1 一 l n x r ,19.已知a - 0且a=1,解关于x 的不等式log a （1-」）4x 1解 原不等式：二log a （1 ） log a a.x（1）当a • 1时，原不等式1 -ln x 小2 0, x “1 —l n x所以.e 丁di 0.因此, ln e ln 二—> ------- e 二 17 •当X 为何值时,不等式4x 2(1- J 2x)2:::2x 9 成立? 解先将不等式分母有理化，有 4x 2 2x(1 +J 1 +2x) =.1 ----- : -------------- — (1 - J 2x)2|L (1 - 1 2x)(1 、1 2x) 因此原不等式同解于不等式组 二(1、,1 2x)2 = 2 2x 2 1 2x. 1 2x _0 二 x -1 2 解得 2 +2x +2丁1 +2x c2x + 9u 45 x :8即原不等式的解集为Jx-1 2兰 x <0>LH x 0w J I45 x . 820.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台 A ，B 上加工一件甲所需工时分别为 1时、2时, 加工一件乙所需工时分别为 2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为 400和 500.如何安排生产可使收入最大？解这个问题的数学模型是二元线性规划.'x+2y 兰 400, 2x 十 v 兰 500, 一设甲、乙两种产品的产量分别为x, y 件，约束条件是，目标函数是xZO, y _o.f = 3x 2y .要求出适当的x, y ，使f = 3x ■ 2y 取得最大值.佩：*图 （该图来至高中数学课程标准，需重做）3a先要画出可行域，如图。