BF⊥MN 于点 F．
①如图 2，当点 O、B 两点均在直线 MN 右侧时，试猜想线段 AF、BF 与 OE 之间存在怎样
的数量关系？请说明理由．
②如图 3，当点 O、B 两点 分别在直线 MN 两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成
立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形 ABCD 绕点 A 旋转到如图 4 的位置时，线段 AF、BF 与 OE 之间的数量关系
∴ OE= 1 AB， 2
∴ AB=2OE， （2）①AF+BF=2OE 证明：如图 2，过点 B 作 BH⊥OE 于点 H
∴ ∠ BHE=∠ BHO=90° ∵ OE⊥MN，BF⊥MN ∴ ∠ BFE=∠ OEF=90° ∴ 四边形 EFBH 为矩形 ∴ BF=EH，EF=BH ∵ 四边形 ABCD 为正方形 ∴ OA=OB，∠ AOB=90° ∴ ∠ AOE+∠ HOB=∠ OBH+∠ HOB=90° ∴ ∠ AOE=∠ OBH ∴ △ AEO≌ △ OHB（AAS） ∴ AE=OH，OE=BH ∴ AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．
∴ 解得 t=
如图①，当 0≤t≤ 时，
S△ PNQ= PQ2= t2；
∴ S=S 菱形 PQMN=2S△ PNQ= t2，
如图②，当 ≤t≤ 时， 设 MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F， ∵ MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t， ∴ ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3， ∵ △ EMF 是等边三角形，
∠ ECB′=∠ EB′C，从而可证△ BB′C 为直角三角形，在 Rt△ AOB 和 Rt△ BOE 中，可将 OB，BB′
的长求出，在 Rt△ BB′C 中，根据勾股定理可将 B′C 的值求出.
【答案】（1） （2）2（3）S=S 菱形 PQMN=2S△ PNQ= t2；
（4）
t=1 或 【解析】 试题分析：（1）由题意知：当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合，此时 DQ=3； （2）当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上，此时 PD=DQ；
（3）当 0≤t≤ 时，四边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为四边形 PQMN；当 ≤t≤ 时，四 边形 PQMN 与△ ABC 重叠部分图形为五边形 PQFEN．
当 0＜t＜ 时， 此时，PD=t，DQ=2t ∴ t=2t ∴ t=0（不合题意，舍去），
当 ≤t＜3 时， 此时，PD=t，DQ=6﹣2t ∴ t=6﹣2t， 解得 t=2； 综上所述，当点 N 到点 A、B 的距离相等时，t=2； （3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t 当点 M 在 BC 边上时， ∴ MN=BQ ∵ PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t ∴ 3t=3﹣2t
【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3） ∠ BHO=45°． 【解析】 试题分析：（1）①根据正方形的性质得 DA=DC，∠ ADB=∠ CDB=45°，则可根据“SAS”证明 △ ADG≌ △ CDG，所以∠ DAG=∠ DCG；②根据正方形的性质得 AB=DC， ∠ BAD=∠ CDA=90°，根据“SAS”证明△ ABE≌ △ DCF，则∠ ABE=∠ DCF，由于∠ DAG=∠ DCG， 所以∠ DAG=∠ ABE，然后利用∠ DAG+∠ BAG=90°得到∠ ABE+∠ BAG=90°，于是可判断 AG⊥BE； （2）如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，证明△ AON≌ △ BOM， 可得四边形 OMHN 为正方形，因此 HO 平分∠ BHG 结论成立； （3）如答图 2 所示，与（1）同理，可以证明 AG⊥BE；过点 O 作 OM⊥BE 于点 M， ON⊥AG 于点 N，构造全等三角形△ AON≌ △ BOM，从而证明 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG，即∠ BHO=45°． 试题解析：（1）①∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ DA=DC，∠ ADB=∠ CDB=45°， 在△ ADG 和△ CDG 中
为
．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF
﹣AF=2OE，
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）①过点 B 作 BH⊥OE 于 H，可得四边形 BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得 EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，∠ AOB=90°，再根 据同角的余角相等求出∠ AOE=∠ OBH，然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ OBH 全等，根据 全等三角形对应边相等可得 OH=AE，OE=BH，再根据 AF-EF=AE，整理即可得证； ②过点 B 作 BH⊥OE 交 OE 的延长线于 H，可得四边形 BHEF 是矩形，根据矩形的对边相等 可得 EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得 OA=OB，∠ AOB=90°， 再根据同角的余角相等求出∠ AOE=∠ OBH，然后利用“角角边”证明△ AOE 和△ OBH 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 OH=AE，OE=BH，再根据 AF-EF=AE，整理即可得证； ③同②的方法可证． 试题解析：（1）∵ AC，BD 是正方形的对角线， ∴ OA=OC=OB，∠ BAD=∠ ABC=90°， ∵ OE⊥AB，
， ∴ △ ADG≌ △ CDG（SAS）， ∴ ∠ DAG=∠ DCG； ②AG⊥BE．理由如下： ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB=DC，∠ BAD=∠ CDA=90°，
在△ ABE 和△ DCF 中
， ∴ △ ABE≌ △ DCF（SAS）， ∴ ∠ ABE=∠ DCF， ∵ ∠ DAG=∠ DCG， ∴ ∠ DAG=∠ ABE， ∵ ∠ DAG+∠ BAG=90°， ∴ ∠ ABE+∠ BAG=90°， ∴ ∠ AHB=90°， ∴ AG⊥BE； （2）由（1）可知 AG⊥BE． 如答图 1 所示，过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N，则四边形 OMHN 为矩形．
∴ EF=GO，GF=EO，∠ GOE=90°， ∴ ∠ AOE+∠ AOG=90°． 在正方形 ABCD 中，OA=OB，∠ AOB=90°， ∴ ∠ AOG+∠ BOG=90°，
∴ ∠ AOE=∠ BOG． ∵ OG⊥BF，OE⊥AE， ∴ ∠ AEO=∠ BGO=90°． ∴ △ AOE≌ △ BOG（AAS）， ∴ OE=OG，AE=BG， ∵ AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF， ∴ BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE， ∴ BF﹣AF=2OE．
∴ ∠ MON=90°， 又∵ OA⊥OB， ∴ ∠ AON=∠ BOM． ∵ ∠ AON+∠ OAN=90°，∠ BOM+∠ OBM=90°， ∴ ∠ OAN=∠ OBM． 在△ AON 与△ BOM 中，
∴ △ AON≌ △ BOM（AAS）． ∴ OM=ON， ∴ 矩形 OMHN 为正方形， ∴ HO 平分∠ BHG． （3）将图形补充完整，如答图 2 示，∠ BHO=45°．
∴ S△ EMF= ME2= （5t﹣3）2 ．
； （4）MN、MQ 与边 BC 的交点分别是 E、F，
此时 ＜t＜ ，
t=1 或
．
考点：几何变换综合题
4．现有一张矩形纸片 ABCD（如图），其中 AB＝4cm，BC＝6cm，点 E 是 BC 的中点．将纸 片沿直线 AE 折叠，点 B 落在四边形 AECD 内，记为点 B′，过 E 作 EF 垂直 B′C，交 B′C 于 F． （1）求 AE、EF 的位置关系； （2）求线段 B′C 的长，并求△ B′EC 的面积．
与（1）同理，可以证明 AG⊥BE． 过点 O 作 OM⊥BE 于点 M，ON⊥AG 于点 N， 与（2）同理，可以证明△ AON≌ △ BOM， 可得 OMHN 为正方形，所以 HO 平分∠ BHG， ∴ ∠ BHO=45°． 考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质
（4）MN、MQ 与边 BC 的有交点时，此时 ＜t＜ ，列出四边形 PEMF 与四边形 PQMN 的 面积表达式后，即可求出 t 的值．
试题解析：（1）∵ △ PQN 与△ ABC 都是等边三角形，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∴ 当点 N 落在边 BC 上时，点 Q 与点 B 重合． ∴ DQ=3 ∴ 2t=3．
∴ t= ； （2）∵ 当点 N 到点 A、B 的距离相等时，点 N 在边 AB 的中线上， ∴ PD=DQ，
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．四边形 ABCD 是正方形，AC 与 BD，相交于点 O，点 E、F 是直线 AD 上两动点，且 AE=DF，CF 所在直线与对角线 BD 所在直线交于点 G，连接 AG，直线 AG 交 BE 于点 H． （1）如图 1，当点 E、F 在线段 AD 上时，①求证：∠ DAG=∠ DCG；②猜想 AG 与 BE 的位 置关系，并加以证明； （2）如图 2，在（1）条件下，连接 HO，试说明 HO 平分∠ BHG； （3）当点 E、F 运动到如图 3 所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接 写出∠ BHO 的度数．
②AF﹣BF=2OE 证明：如图 3，延长 OE，过点 B 作 BH⊥OE 于点 H
∴ ∠ EHB=90° ∵ OE⊥MN，BF⊥MN ∴ ∠ AEO=∠ HEF=∠ BFE=90° ∴ 四边形 HBFE 为矩形 ∴ BF=HE，EF=BH ∵ 四边形 ABCD 是正方形 ∴ OA=OB，∠ AOB=90° ∴ ∠ AOE+∠ BOH=∠ OBH+∠ BOH ∴ ∠ AOE=∠ OBH ∴ △ AOE≌ △ OBH（AAS） ∴ AE=OH，OE=BH， ∴ AF﹣BF =AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE ③BF﹣AF=2OE， 如图 4，作 OG⊥BF 于 G，则四边形 EFGO 是矩形，