【答案】
2 55 5
弦长的求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元 二次方程.在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长 公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长 l＝2 r2－d2 . 提醒：代数法计算量较大，我们一般选用几何法.
例 1．已知直线 l：x－y＋4＝0 与圆 C：(x－1)2＋(y－1)2＝2， 则 C 上各点到 l 距离的最小值为__________．
直线与圆的位置关系
【本节要求】
1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置 关系． 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想． 4.会用数形结合思想解决数学问题.
直线与圆的位置关系
近三年全国卷出现情况
1、2013年全国卷I第21题 2、2013年全国卷II第20题 3、2014年全国卷I第20题 4、2014年全国卷II第12题 5、2015年全国卷I第20题
答案：2 2
3.直线ax-y+2a=0与圆x2+y2=9的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定
【解析】选C.直线ax-y+2a=0⇒a(x+2)-y=0，即直线恒过点(-2，
0)，因为点(-2，0)在圆内，所以直线与圆相交.
四、【小结反思】
1、本节课我们复习了哪些内容？
直线与圆位置关系的判定 切线问题 弦长问题
解析：由数形结合可知：所求最小值为圆心到直线的距离减 圆的半径．由圆心 C(1,1)到直线 x－y＋4＝0 的距离 d＝|1－12＋4| ＝2 2，故最小值为 2 2－ 2＝ 2.
答案： 2
【例 1-2】 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的弦长为 4 3,求直线 l 的方程.
C．x－ 3y＋4＝0
D．x－ 3y＋2＝0
【答案】 D
圆的切线方程的求法 (1)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组， 消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k. (2)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式 表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k. 提醒：若点M(x0，y0)在圆x2+y2=r2上，则过M点的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2.
2．过点(－4，－8)作圆(x＋7)2＋(y＋8)2＝9 的切线，则 切线的方程为________．
【答案】 x＝－4
变式1、求经过P(4，4)与圆x2-4x+y2=0相切的直线方程.
y
P(4,4)
o O(2,0)
x
点在圆外，所
得切线有两条
y
P(1， 3 )
o x
点在圆上，所得切线 有一条
①判断P在圆上还是圆外 ②设切线方程 （注意讨论斜率不存在的情况） ③根据圆心到直线距离等于半径列等式： ④化简方程解出k
解:圆的方程可化为(x+2)2+(y-6)2=16,圆心(-2,6),半径长 r=4.
又直线 l 被圆截得的弦长为 4 3,
所以圆心 C 到直线 l 的距离 d= 42-(2 3)2=2. 当直线 l 的斜率不存在时,直线方程为 x=0,此时符合题意; 当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y-5=kx,即 kx-y+5=0. 由|-2kk-26++15|=2,得 k=34, 此时 l 的方程为3x-y+5=0,即 3x-4y+20=0.
4
故所求直线方程为 x=0 或 3x-4y+20=0.
随堂检测
1.(2013·天津卷)已知过点 P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5 相
切，且与直线 ax－y＋1＝0 垂直，则 a＝( )
A．－12
B．1
C．2
1 D.2
解析：本题考查直线与圆相切的性质以及两条直线的垂直关 系．
由题意知点 P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5 上，设切线的斜率为 k， 则 k·2－2 1＝－1，k＝－12，直线 ax－y＋1＝0 的斜率为 a，其与切 线垂直，∴－12a＝－1，a＝2，故选 C.
答案：C
2．(2013·山东卷)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其 中最短弦的长为__________．
解析：本题考查了直线与圆的位置关系、弦长最值问题、转 化与化归思想．
点(3,1)在圆内，要使弦长最短，需圆心 C(2,2)与点 N(3,1)所 在直线与弦垂直，此时|CN|＝ 2，则弦长为 2 4－2＝2 2.
相交
相切
相离
(2)弦长公式 |AB|= 1 k2 |xA-xB|
1 k2 [xA xB 2 4xAxB ]
(3)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂 线上.
1．圆 x2＋y2－4x＝0 在点 P(1， 3)处的切线方程为( )
A．x＋ 3y－2＝0
B．x＋ 3y－4＝0
【知识梳理】
(1)直线与圆的位置关系与判断方法
方法
过程
代 数 法
联立方程组消去x(或y)得一元 二次方程，计算Δ=b2-4ac
几 计算圆心到直线的距离d，比较
何 d与半径r的关系.相交时弦长为
法
2 r2－d2
依据 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d<r _d_=_r_ _d_>_r_
结论 _相__交__ _相__切__ _相__离__
变式2：已知x ,y 满足条件x2-4x+y2=0, 求 ，4)与圆x2-4x+y2=0相切的直线方程.
y
P(4，4)
y P(4,4)
o
点睛之 笔
变式2
x
同一知识 不同问法
o
x
O(2,0)
变式2
数形结合是解决几何问题的常用思想方法
3．若圆 x2＋y2＝1 与直线 y＝kx＋2 没有公共点，则实数
k 的取值范围为________．
【答案】 (－ 3， 3)
4．(2013·陕西高考)已知点 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，
则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【答案】 B
5．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 x＋2y－ 3＝0 被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4 截得的弦长为________．