0 :相交 0 : 相切 0 : 相离
142 中学
探究1：如下图，已知直线l：3x y 6 0 和圆
心为C 的圆 x2 y2 2y 4 0 ，判断直线l与圆的
位置关系；如果相交，求它们交点的坐标．
解法一：由直线l与圆的方程，得
3x y 6 0
①
x2
y2
2
y
4
0
②
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圆弧，其弧长的比为3∶1；（3）圆心到直线l：x - 2 y 0的距离为 5 ， 5
求该圆的方程。
解：令圆心坐标为（ a，b），半径为 r，
y
则r2 12 a2 ①
由（2）知 ACB 90 r 2 b ②
由（3）
a 2b
12 (2)2
5 5
. 1 r C
|a| |b| r
oA
Bx
a 2b 1 ③
联立①②消去 r 2b2 a2 1 ④
③④
a 2b2
2b a2
1
1
（Ⅰ）或2ab2
2b a2
1 1
（Ⅱ）
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③④
a 2b2
2b a2
1
1
（Ⅰ）或2ab2
2b a2
1 1
（Ⅱ）
b 1 a 1 r 2 b 2 解（Ⅱ）b 1，a 1，r 2 b 2
由①得
y 3x 6 ③
代入②消去y，得
x2 3x0
所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．
解法二：圆 x2 y2 2 y 4 0 可化为 x2 ( y 1)2 5
其圆心C 的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C （0，
1）到直线 l 的距离
d |3016| 5 5
32 12
10
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所以，直线l与圆相交，有两个公共点．
由 x2 3x 2 0 ，解得 判断直线与圆的位置关系常
x1 2, x2 1 用几何法（方法二），但如 把 x1 2,代x入2 方1程①，得果求y1交点0坐；标就最好用代数
方法（方法一）了
x1 把2, x2 1代入方程① ，得 y2 3．
综上所述：所求圆的方 程为 （x 1）2 （y 1）2 2
或（x 1）2 （y 1）2 2
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作业p132---习题1、2、3、4 (选做) 求动点在圆 x2+y2=1上移动 时，它与定点B(3,0)连线的中点的 轨迹方程。
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4.2 直线、圆的位置关系
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4.2.1 直线与圆的位置关系
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问题：你对下面的方程组怎样理解？
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一.知识回顾
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想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系？
平面几何中，直线与圆有三种位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点．
x2 y2 4y 21 0所截得的弦长为 4 5，
求直线的方程．
解：将圆的方程写成标准形式，得
x2 (y 2)2 25
如图，因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5，所以弦心距为
52 (4 5)2 5 2
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即圆心到所求直线的距离为 5
因为直线l 过点 M (3,3) ，所以可设所求直线l
d<r
d=r
d>r
判断直线和圆的位置关系 142 中学
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半 径r（配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2 Ax By C 0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为
y 3 1 (x 3) 或 y 3 2(x 3)
2
即 x 2y 9 0,或2x y 3 0
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求实数m，使直线x-my+3=0 和圆x²+y²-6x+5=0 （1）相交；（2）相切； （3）相离
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例3. 已知圆满足：（1）截y轴所得弦长为2；（2）被x轴分成两段
的方程为
y 3 k(x 3)
即
kx y 3k 3 0
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线 l 的
距离
d | 2 3k 3 | k2 1
因此
| 2 3k 3 | 5 k2 1
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即
| 3k 1| 5 5k 2
两边平方，并整理得到
2k 2 3k 2 0
解得
k 1，或k 2 2
所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是
A（2，0）,B（1，3）
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探究2.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2， P(2,-1)，
过P作⊙C的切线，切点为A、B。 （1）直线PA、PB的方程； （2）求过P点⊙C切线的长；
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探究3 已知过点 M (3,3)的直线被圆