密云区2019-2020学年第二学期高三第二次阶段性测试数学试卷参考答案 2020.6一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDBACCBDD二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．1(,0)4- 12．20 13．10-；30- 14．18；157415. ①②④． 备注：（1）若小题有两问，第一问3分，第二问2分；（2）第15题答案为①②④之一，3分；为①②④之二，4分；为①②④，5分；其它答案0分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为矩形．因为112AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，所以ADC ∆和11A DC ∆均为等腰直角三角形．所以o1145ADC A DC ∠=∠=．因此o190C DC ∠=，即1C D DC ⊥．因为1DC BD ⊥，BD DC D =I ， 所以1DC ⊥平面BCD ． 因为BC ⊂平面BCD ，所以1DC BC ⊥．（Ⅱ）解：因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥． 又因为1DC BC ⊥，111CC DC C =I ， 所以BC ⊥平面11ACC A ．因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥ 以C 为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设1AC =，则(0,0,0)C ，(1,0,0)A ，(010)B ，，，(101)D ，，，1(102)A ，，，1(0,0,2)C ， 所以1(0,0,1)A D =-u u u u r ，1(1,1,2)A B =--u u u r ，1(1,0,1)C D =-u u u u r ，1(0,1,2)C B =-u u u r． C 1ABC A 1 B 1第16题图DDC 1AB C A 1 B 1第16题图zx y设平面1A BD 的法向量()x y z =，，m ，由1100.A D AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r，m m 得020.z x y z -=⎧⎨-+-=⎩， 令1x =，则(1,1,0)=m ．设平面1C BD 的法向量()x y z =，，n ，由1100.C D C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u r ，n n 得020.x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，则(1,2,1)=n ．则有1112013cos ,.||||226⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅⨯m n m n m n因为二面角1A BD C --为锐角， 所以二面角1A BD C --的大小为π6． 17. （本小题满分15分）（Ⅰ）解：因为22()=23sin cos cos sin f x x x x x +-=3sin 2cos 2x x + =π2sin(2)6x +．所以函数()f x 的最小正周期πT =． 因为函数sin y x =的的单调增区间为ππ[2π,2π],22k k k -++∈Z ， 所以πππ2π22π,262k x k k -+++∈Z ≤≤， 解得ππππ,36k x k k -++∈Z ≤≤．所以函数数()f x 的的单调增区间为ππ[π,π],36k k k -++∈Z ，（Ⅱ）解：若选择①由题意可知，不等式()f x m ≥有解，即max ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π()26f =．所以2m ≤．若选择②由题意可知，不等式()f x m ≥恒成立，即min ()m f x ≤．因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2666x +≤≤． 故当π7π266x +=，即π2x =时，()f x 取得最小值，且最小值为π()12f =-．所以1m -≤．18．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“在抽取的2人中至少有1位消费者在去年的消费超过4000元”为事件A.由图可知，去年消费金额在(3200,4000]内的有8人，在(4000,4800]内的有4人， 消费金额超过3200元的“健身达人”共有 8+4=12（人），从这12人中抽取2人，共有212C 种不同方法，其中抽取的2人中至少含有1位消费者在去年的消费超过4000元，共有112844C C C +种不同方法．所以，()P A =11284421219=33C C C C +． （Ⅱ）解：方案1 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员、银卡会员、金卡会员的人数分别为820257100+⨯=，25352515100+⨯=，12253100⨯=， 按照方案1奖励的总金额为1750015600380014900ξ=⨯+⨯+⨯=（元）．方案2 设η表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则η的可能取值为0，200，300．由题意，每摸球1次，摸到红球的概率为121525C P C ==，所以03012133323281(0)()()()()5555125P C C η==+=， 21233236(200)()()55125P C η===， 3033328(300)()()55125P C η===．所以η的分布列为：数学期望为81368020030076.8125125125E η=⨯+⨯+⨯=（元）， 按照方案2奖励的总金额为2(28602123)76.814131.2ξ=+⨯+⨯⨯=（元），因为由12ξξ>，所以施行方案2投资较少．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2222222131,4152,6.a b a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⨯⎨⎪⎪=+⎪⎩解得2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2214x y +=，离心率3е2=．（Ⅱ）解：方法一因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为． 设直线的方程为：65x ty =-， 联立方程226,51.4x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得221264(4)0525t y ty +--=．显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122125(4)t y y t +=+，1226425(4)y y t =-+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122121222266(2)(2)55416(1)()5256441216(1)()25(4)55(4)25ty tx y y t y y t y y t t t t t =-+-++=++++=+⨯-+⨯+++=0 所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．方法二B AM N Qxy（1）当直线垂直于x 轴时 解得M 与N 的坐标为64(,)55-±．由点(2,0)A -，易证o90MAN ∠=． （2）当直线斜率存在时设直线的方程为：6(),0.5y k x k =+≠，联立方程226(),51.4y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得2222484(3625)(14)0525k k x k x -+++=． 显然点6(,0)5Q -在椭圆C 的内部，所以0∆>．设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122485(14)k x x k +=-+，21224(3625)25(14)k x x k -=+． 又因为(2,0)A -，所以11(2,)AM x y =+u u u u r ，22(2,)AN x y =+u u u r．所以1212(2)(2)AM AN x x y y =+++u u u u r u u u rg12122221212222222266(2)(2)()()55636(1)(2)()45254(3625)64836(1)(2)425(14)55(14)25x x k x k x k k x x k x x k k k k k k k =+++++=++++++--=+⨯++⨯++++=0所以AM AN ⊥u u u u r u u u r ，即o90MAN ∠=是定值．20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当1a =时，()ln ,0f x x x x =->，所以1'()1,0f x x x=->，因此'(1)0k f ==． 又因为(1)1f =，所以切点为(1,1)．所以切线方程为1y =．（Ⅱ）解：1()ln 0ah x x a x x a x+=-+>∈R ，，． 所以221(1)(1)'()10a a x x a h x x x x x++--=-->=，． 因为0x >，所以10x +>． （1）当10a +≤，即a ≤-1时因为0x >，所以(1)0x a -+>，故'()0h x >．此时函数()h x 在(0,)+∞上单调递增．所以函数()h x 不存在最小值． （2）当10a +>，即a >-1时令'()0h x =，因为0x >，所以1x a =+．()h x 与'()h x 在(0,)+∞上的变化情况如下：x(0,1)a +1a +(1,)a ++∞'()h x − 0 + ()h x↘极小值↗所以当1x a =+时，()h x 有极小值，也是最小值，并且min ()(1)2ln(1)h x h a a a a =+=+-+． 综上所述，当a ≤-1时，函数()h x 不存在最小值；当1a >-时，函数()h x 有最小值2ln(1)a a a +-+．（Ⅲ）解：当0x >时，2ln x x x x -≤．21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，所以1(,)[(00|00|)(11|11|)(11|11|)]22M αα=++-+++-+++-=，1(,)[(00|00|)(10|10|)(11|11|)]22M αβ=++-+++-+++-=．（Ⅱ）证明：当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素,αβ，设12341234(,,,)(,,,)x x x x y y y y αβ==，，有12341234(,)(,)M x x x x M y y y y ααββ=+++=+++，．对于任意的,i i x y ，1,2,3,4i =，当i i x y ≥时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y x ++-=++-=， 当i i x y ≤时，有11(||)[()]22i i i i i i i i i x y x y x y x y y ++-=+--=． 即1(||)max{,}2i i i i i i x y x y x y ++-=． 所以，有11223344(,)max{,}max{,}max{,}max{,}M x y x y x y x y αβ=+++． 又因为,{0,1}i i x y ∈，所以max{,}i i i i x y x y ≤+，1,2,3,4i =，当且仅当0i i x y =时等号成立． 所以，11223344max{,}max{,}max{,}max{,}x y x y x y x y +++11223344()()()()x y x y x y x y ≤+++++++ 12341234()()x x x x y y y y =+++++++，即(,)(,)(,)M M M αβααββ≤+，当且仅当0i i x y =（1,2,3,4i =）时等号成立．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）问，可证，对于任意的123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，若(,)(,)(,)M M M αβααββ=+，则0i i x y =，1,2,3,,i n =L 成立． 所以，考虑设012312{(,,,,)|,0}n n A x x x x x x x =====L L ， 11231{(,,,,)|1,{0,1},2,3,,}n i A x x x x x x i n ==∈=L L ，对于任意的2,3,,k n =L ，123123121{(,,,,)|(,,,,),0,1}k n n k k A x x x x x x x x A x x x x -=∈=====L L L ．所以01n A A A A =U UL U ．假设满足条件的集合B 中元素个数不少于2n +， 则至少存在两个元素在某个集合k A （1,2,,1k n =-L ）中， 不妨设为123123(,,,,)(,,,,)n n x x x x y y y y αβ==L L ，，则1k k x y ==． 与假设矛盾，所以满足条件的集合B 中元素个数不多于1n +． 取0(0,0,0)e =L ；对于1,2,,1k n =-L ，取123(,,,,)k n k e x x x x A =∈L ，且10k n x x +===L ；n n e A ∈． 令01{,,,}n B e e e =L ，则集合B 满足条件，且元素个数为1n +．故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．。