设X ={a, b, c}, Y=(1, 2, 3), f: XTY为：f(a) = 1, f(b) = f(c) = 2
令A ={a, b}, B={c},于是 AnB=0, f(ADB)= 0 但 是 f(A) nf(B) = {l, 2} A {2} 0 这表明 f(AAB) c f(A) Af(B)o
<c, a>), h ={<a, a>, <c, P>}, h =(<a, a>,
<b, P>, <c, a>), A <b, p>, <c, P>}, fs ={
={<a, p>, <b, a>, <c, 〈a, 6>, <b, a>, <c,
a>}, A ={<a, 3>, <b, p>} f7 =(<a, p>, <b,
双射。
(2) ranf={2x|xeN}uN,所以f不是满射。对于任意的孔改E N,若fg) =f(x2 ),即2 = 2形，则有x±=x2 o所以f是单射。所以f不是双射。
(3) ranf= Z,所以f是满射。对于任意的xltx2 e Z,若f(xi) = fg),即x】 + 1= %2 则可得出= %2 o所以f是单射。所以f是双射。
定义5.6
设函数f： ATB,
(1)若ranf二B,则称f: A— B是满射的。
⑵ 若Vy e ranf,都存在唯—的x《A,使得f (X)二y,则称f: A是单射的。 ⑶若f： A
TB既是满射的，又是单射的，则称f： A—B是双射的(或 映射)。 由定义易得出：
I
1) 2)
若f: 若f:
ATB是满射的，则对于Vy 6 B,都存在xWA,使得f(x)
A->B是单射的，则对于V %i，形&A,
=
y0
① 若工1。％2，—定有f(》l)。f(X2)o或
者
② 若f (%1)= f (%2)■—定有*1 = X2 O
M 5.2函数的性质与分类
虹 定理5.3」
设A和B为有限集，若A和B的元素个数相等，即| A | = | B 从A到B的函数f是单射当且仅当它是一个满射。
5.1函数的定义
定义5.2
设f、g为函数，贝【J f = g«fCgAgCf 由该定义可知，若两函数f和g相等，一定满足如下两条件: 1) domf 二 domg 2) Vx G domf 二 domg,都有f(x) = g(x) o
例如函数f(x)=拓和^g(x) = X-1 是不相等的，因为domf = (x I x GR A x。-1'*帰=....*卯 而domg 二 R, domf。domgo 所以f。43;ZO"翊朝
2) 令{x I x G A A f (x) G Bj ,称fT(Bi)为％在f下的完全原像。\ J'
-5.1函数的定义
定理5.2
设f是从X到Y的函数，A、B都是X的子集，贝 1) f (AUB)= f(A) Uf(B) 2) f (APB) c f (A) nf (B) ■ 例5.7
例5. 1
判断如下关系是否 为函数？
fl = {< %1，71 A,V %21 yi >,< X3. %A}, f2= (< %1，71 A ,V X1, y2 > , V%2，V1 A ,<X3，V2 A}
解：有是函数，满足函数的定义。£不是函数，因为对应于%1，存在 %和V2，使得工1/>1、刀1/>2同时成立，与函数定义矛盾。
函数部分知识逻辑概图
5.1函数的定义
函数是一种具有特殊性质的二元关系。
5.1函数的定义
定义5.1
设f为二元关系，若对任意的xGdomf都存在唯一的y G ranf使得xfy成立，贝| 称f为函数。
对于函数f,如果〈x, y> 6 f,常记作y二f (x), x称为自变量， y称为x在f作用下的像
小结
(1)函数是一种具有特殊性质的二元关系，即函数值的唯一性。 (2) 函数相等就是集合相等。
(3) 从A到B的函数f: ATB。
(4) 函数的图形表示。
(5) 设A和B都为有限集，\BA\=\B\^O
(6) 像和完全原像。
5.2函数的性质与分类
具有不同性质的三种特殊的函数：满射、单射和双射。
M 5.2函数的性质与分类
p>, <c, a>},
p>, <c, p>)
所以脾=，…，/7)o ,
-5.1函数的定义
定理5.1
设A和B都为有限集，|A|二ni, |B|二n,且m, n > 0,则从A到B共有孔如个不同函数，
即|旳二宀
定义5.5
设函数f： ATB,角 c A, Bi c B,
1) 令fUi )={f(x) |X6 4I},称f(%)为为在f下的像。特别当厶1二A时称f (A)为
例5. 5
设A 二{a, b, c}, B 二{a, B},求W?
解：AxB=(<a, a>, <a, p>, <b, a>, <b, p>, <c, a>, <c, p>), A x B有2。个 可能的子集， 但其中只有23个子集能成为从A到B的函数，分别为
/o=(<a, a>, <b, a>, A={<a, a>, vb, a>,
(或函数值)。
.
函数是一种特殊的二元关系，特点如下：
1) 函数的定义中强调像y是唯一的，称作像的唯一性。像的唯一性可以描述为：设 f(x1)=y1 且f (%2)=72,如果功二-那么yi=72 ；或者如果yi，那么，1皈危)知翊=. 2) 该定义并不排斥多个元素拥有相同的像的情况。即若可以有f(%!)^(x2)o \
J+Z0 3)xVi?55 = 孑
例5. 9
判断卜面函数是否为满
射，单射，双射，为什 么？
(1) f： {1,2}-{0}, f(l)二 f(2)二 0。
(2) f: NTN,
f(x)=2x°
(3) f: ZTZ,
f(x)二x+1。
■解：■
(1) ranf={0},所以f是满射。1。2,但f(1)=f(2),所以f不是单射。不是
-5.1函数的定义
定义5.3
设A, B是集合，如果函数f满足以下条件： 1) domf = A 2) ranf W B
则称f为从A到B的函数，记作f: ATB。
-5.1函数的定义
定义5.4
设A, B为集合，所有从A到B的函数的集合记作时，读作“ B上A ”， 集合表示
为
I
驴二{f | f： A-B}