f (u1 ) f (u2 )
2.性质 函数 单调状况
内层函数 u=g(x) 外层函数 Y=f(u) 复合函数 Y=f[g(x)]
注:复合函数单调性:(内外 层函数单调性)同增异减.
求复合函数的单调区间 (1)求定义域 (2)求内层函数的单调区间 (3)说出外层函数的单调性 (4)写出复合函数的单调区间 (同增异减)
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数f ( x)的定义域为I：
1增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两
个自变量的值x1 , x2 , 当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就 说在这个区间上是增函数。
2减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两
证明： 设a x1 x2 b
u g ( x)在(a, b)上是增函数
c g ( x1 ) g ( x 2 ) b
又y f (u)在(c, d )上为增函数
即c u1 u2 d
即f [ g ( x1 )] f [ g ( x2 )] y f [ g ( x)]在(a, b)上为增函数
个自变量的值x1 , x2 , 当x1 x2时，都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么 就说在这个区间上是减函数。
二.常用函数的单调性 kx b(k 0)
O
x
图象的函数解析式是 : y kx b(k 0)， 此函数是一次函数， 当k 0时，此函数为增函数，函数的单调递增区间为 , ， 当k 0时，此函数为减函数，函数的单调递减区间为 , 。
例2.求函数y x 2 4 x 3的单调递减区间。
解： x 2 4 x 3 0，即x 2 4 x 3 0，
令u x 2 4 x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递增函数。
又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
1、定义：如果y是u的函数，记 为y=f(u),u 又是x的函数，记为 u=g(x),且g(x)的值域与f(u)的定 义域的交集不空，则确定了一 个y关于x的函y=f[g(x)],这时y叫 x的复合函数，其中u叫中间变 量，y=f(u)叫外层函数，u=g(x) 叫内层函数。x u y
定理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x) 在区间(a,b)上是增函数,其值域为(c，d)， 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数， 那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间 (a,b)上是增函数.
2
y u 在定义域内是增函数。
在 ,1上是减函数。
y x 4 x 5在5, 上是增函数，
2
在 ,1上是减函数。
小结：
（1）求复合函数的单调区间；
注意：求函数的单调性首先要求函数 的定义域。
（2）掌握复合函数单调性的判断方法。
求下列函数的单调区间 1. y 5 4 x x 2. y x 2 x
y
k (k 0) x
y
y
k k 0 x
O
x
k 图象的函数解析式是：y k 0 。此函数是反比例函数。 x 当k 0时，函数在 ,0 上是减函数，在0, 上也是减函数；
当k 0时，函数在 ,0 上是增函数，在0, 上也是增函数。
y
2 2
3. y x 2 x 3
2
1 4. y x 1 5. y 1 3 2x x
2
四.函数单调区间的求解
1 例1 : 求y 的单调区间 x 1
1 解 : 函数y 的定义域为 x x 1} { x 1
t x 1在R上为增函数
y x 1
1 令t x 1, 则y t
1 y 在(,0), (0,)为减函数 t1
的减区间为(,1), (1,)
2
。 1 x 3，即函数的定义域为1,3
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
(问：函数y x 2 4 x 3的单调递增区间是什么？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。
五.练习：
练习 ：求y x 2 4 x 5函数的单调区间。 1
练习 ：求y x 2 4 x 5函数的单调区间。 1
解： x 4 x 5 0
2
函数的定义域为 ,1 5,。
令u x 4 x 5, 则y u ,
2
又u x 2 1在5, 上是增函数，
y ax2 bx c(a 0)
O
x
b 2a
x
y ax2 bx c(a 0)
图象的函数解析式是：y ax 2 bx c(a 0)。此函数是二次函数。 b b 当a 0时，函数在 , 上是减函数，在 , 上是增函数； 2a 2a b b 当a 0时，函数在 , 上是增函数，在 , 上是减函数。 2a 2a