函数的单调区间单调性是函数的一个重要性质，对函数作图起到决定性的作用，而导数是分析函数单调区间的一个便利工具。
求一个已知函数的单调区间是每一个学生的必备本领，在求解的过程中也要学会一些方法和技巧。
一、基础知识：1、函数的单调性：设()f x 的定义域为D ，区间I D ⊆，若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x <，则称()f x 在I 上单调递增，I 称为单调递增区间。
若对于1212,,x x I x x ∀∈<，有()()12f x f x >，则称()f x 在I 上单调递减，I 称为单调递减区间。
2、导数与单调区间的联系（1）函数()f x 在(),a b 可导，那么()f x 在(),a b 上单调递增()',()0x a b f x ⇒∀∈≥，此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零。
等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：()2f x x =的单调递增区间为[)0+∞，，而()'00f =，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为()3f x x =在0x =处的导数为0，但是()0,0位于单调区间内。
（2）函数()f x 在(),a b 可导，则()f x 在(),a b 上单调递减()',()0x a b f x ⇒∀∈≤，（3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由()'f x在(),a b的单调性呢？如果()f x不x a b f x∀∈，的符号能否推出(),()是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性。
（这也是求函数单调区间的理论基础）3、利用导数求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域（2）求出()f x的导函数'()f x（3）令'()0f x的单调增（或减）f x>（或0<），求出x的解集，即为()区间（4）列出表格4、求单调区间的一些技巧（1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）。
另一方面通过定义域对x取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解（2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式（3）一般可令'()0f x>，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若()f x不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤）（4）若'()0f x是定义域上的增函数，f x>的解集为定义域，那么说明()若'()0f x>的解集为∅，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么()f x是定义域上的减函数（5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，()1-⨯增→减，复合函数单调性同增异减等。
如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定。
5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内。
例如函数1y x =的单调减区间为()()0,,,0+∞-∞，若写成[)0,+∞就出错了（0不在定义域内）（2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号。
有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的。
并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题。
依然以1y x =为例，如果写成()()0,,0+∞-∞，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件。
由1y x =性质可知，如果在()()0,,,0+∞-∞两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的。
6、二阶导函数的作用：①几何意义：导数的符号决定原函数的单调性，对于()"f x 而言，决定的是()'f x 的单调性。
当()''0f x >时，()'f x 单调递增，意味着()'f x 随x 的增大而增大，由于导数的几何意义为切线斜率，故切线斜率k 随x 的增大而增大；同理，当()''0f x <时，()'f x 单调递减，则切线斜率k 随x 的增大而减少。
那么在图像上起到什么作用呢？单调增有三种： 其不同之处在于切线斜率随自变量变大的变化不同，所以如果说()'f x 是决定函数单调性的，那么()''f x 在已知单调性的前提下，能够告诉我们是怎样增，怎样减的，进而对作图的精细化提供帮助。
（1）当()"0f x >，其图像特点为： 我们称这样的函数为下凸函数（2）当()"0f x <，其图像特点为： 我们称这样的函数为上凸函数②代数意义：当通过()'f x 无法直接判断符号时，可通过二阶导函数先确定一阶导函数的单调性，再看能否利用条件判断符号。
二、典型例题：例1：下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（ ）A. ()sin2f x x =B. ()x f x xe =C. ()3f x x x =-D. ()ln f x x x =-+思路：本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。
A 选项()sin2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'1x x x f x e xe x e =+=+，当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()231=3f x x x x ⎛=--+ ⎝⎭⎝⎭‘可得()f x 在⎛ ⎝⎭单调递减，在3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；D 选项()'111x f x x x -=-+=，可得()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。
综上，B 符合条件答案：B例2：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（ ）A. ()0,+∞B. (),0-∞C. ()2,+∞D.(),2-∞-思路：先分析()f x 的定义域：()()240,22,x x ->⇒∈-∞-+∞，再观察解析式可得()f x 可视为函数212log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于12log y t=而言，y 对t 是减函数。
所以如要求得增区间，则24t x =-中t 对x 也应为减函数。
结合定义域可得()f x 的单调增区间为(),2-∞- 答案：D例3：求函数()()32333x f x x x x e -=+--的单调区间（2009宁夏，21题（1）） 思路：第一步：先确定定义域，()f x 定义域为R ，第二步：求导：()()'232()363333x x f x x x e x x x e --=+--+-- ()()()3933x x x x e x x x e --=--=--+,第三步：令'()0f x >,即()()330x x x x e ---+>第四步：处理恒正恒负的因式，可得()()330x x x -+<第五步：求解()()3,03,x ∈-+∞,列出表格例4：求函数()()ln ln 2f x x x x =+-+的单调区间解：定义域()0,2x ∈()()()()(()2'221121=2222x x x x x x x f x x x x x x x x x -+-++--=++==----()0,2x ∈20,0x x ∴-<+>∴令导数()'0f x >解得：0x x -<⇒<式的过程）∴例5：求函数()2f x =的单调区间 解：()()122'32112ln ln ln 4ln 122x x x x x x f x x x -⋅-==⋅ 令()'0f x >，即解不等式()ln ln 40x x -<，解得40ln 41x x e <<⇒<< ()f x ∴的单调区间为例6：求函数()1ln f x x x =--的单调区间思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：()1ln ,11ln ,01x x x f x x x x -->⎧=⎨--<<⎩，当()0,1x ∈时，()1ln f x x x =--为减函数 当()1,x ∈+∞时，()'111x f x x x -=-=1x > ()'0f x ∴> ()f x ∴在()1,+∞单调递增综上所述：()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增小炼有话说：（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
（2）本题在()0,1x ∈时，利用之前所学知识可直接判断出()f x 单调递减，从而简化步骤。
导数只是分析函数单调性的一个工具，若能运用以前所学知识判断单调性，则直接判断更为简便例7：（1）若函数()()()1ln 10,01x f x ax x a x -=++≥>+在区间[)1,+∞单调递增，则a 的取值集合是__________（2）若函数()()()1ln 10,01x f x ax x a x-=++≥>+的递增区间是[)1,+∞，则a 的取值集合是___________解：（1）思路：()()()()2'22221111a ax a f x ax x ax x +-=-=++++，由()f x 在[)1,+∞单调递增可得：1x ∀≥，()()()()2'22201211ax a f x a x ax x +-=≥⇒+≥++。
2max211a x ⎛⎫∴≥= ⎪+⎝⎭ 1a ∴≥（2）思路：()f x 的递增区间为[)1,+∞，即()f x 仅在[)1,+∞单调递增。
令()'222020a f x ax a x a->⇒+->⇒>，若1a >，则()f x 单调递增区间为()0,+∞不符题意，若01a <≤，则x >时，()'0f x >。
所以11a =⇒= 答案：（1）1a ≥，（2）1a =小炼有话说：注意两问的不同之处，在（1）中，只是说明()f x 在区间[)1,+∞单调递增，那么()f x 也可以在其他区间单调递增，即[)1,+∞是增区间的子集。