定积分在物理中的应用目录:一.摘要二.变力沿直线所作的功三.液体的侧压力四.引力问题五.转动惯量摘要:伟大的科学家牛顿,有很多伟大的成就,建立了经典物理理论,比如:牛顿三大定律,万有引力定律等;另外,在数学上也有伟大的成就,创立了微积分。
微积分(Calculus)是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你很难研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,‘无限细分’就是微分,‘无限求和’就是积分。
无限就是极限,极限的思想是微积分的基础,它是用一种运动的思想看待问题。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
在高中物理中,微积分思想多次发挥了作用。
定义:设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a ,b]中任意插入若干个分点 a=X0<X1<...<Xn-1<Xn=b 把区间[a ,b]分成n 个小区间 [X0,X1],...[Xn-1,Xn]。
在每个小区间[Xi-1,Xi]上任取一点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△Xi ,并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间上的点ξi 怎样取法,只要当区间的长度趋于零时,和S 总趋于确定的极限I , 这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分, 记作: ()dx x f ab ⎰即: ()()ini iab x f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所作的功.在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1.在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处(a<b ),求电场力所做的功.解:当单位正电荷距离原点r 时,由库仑定律电场力为2rq kF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为:⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明:电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=⎰∞+2例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体,由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处(如图),求移动过程中气体压力所作的功.解:建立坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反比,即xSk V k p == 故作用在活塞上的力为xkpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===⎰例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ,底圆半径为3m ,试问要把桶中的水全部吸出需做多少功?解:建立坐标系如图,在任一小区间[x,x+dx]上的一薄层水的重量为dx g 23πρ⋅⋅(KN )这薄层水吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为:5502299⎰==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=(KJ )液体侧压力设液体密度为ρ 深为h 处的压强:h g pρ=*当平板与水面平行时,平板一侧所受的压力为 pA P=*当平板不与水面平行时,所受侧压力就需用积分解决.例4.一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为ρ的液体,求桶的一个端面所受的侧压力. 解:建立坐标系如图.所论半圆的方程为 22xR y-±=()R x ≤≤0利用对称性,侧压力元素 dx x R x g dP222-=ρ端面所受侧压力为322322R g dx x R x g P ⎰=-=ρρ说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压力元素 ()dx x R x R g dP222-+=ρ,故端面所受侧压力为 ()dx x R x R g PR R222++=⎰-ρ令 t R x sin =↓RR x R x R xRg 0222arcsin 224⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ρ3R g ρπ=引力问题质量分别为1m ,2m 的质点,相距r , 二者间的引力:大小:221rmm kF =方向: 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.例5.设有一长度为l ,线密度为μ的均匀直棒,在其中垂线上距a单位处有一质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段[x ,x+dx]对质点的引力大小为22xa dxm kdF +=μ故垂直分力元素为αcos dF dF y-=2222xa a x a dx m k +⋅+-=μ()2322x a dxakm +-=μ棒对质点的引力的垂直分力为()⎰+-=2023222l yxa dxa km F μ2222l x a a x a km ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=μ22412la a l km +-=μ棒对质点引力的水平分力0=x F故棒对质点的引力大小为22412la a l km F +=μ说明1.当细棒很长时,可视l 为无穷大,此时引力大小为akm μ2方向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引力沿y 轴从a 处移动到b (a<b )处时克服引力作的功, 则有dy ly y l km dW 22412+-=μ⎰+-=b aly y dyl km W 2242μ3.当质点位于棒的左端点垂线上时,()2322cos xa dxakm dF dF y+-=⋅-=μα()2322sin xa xdxkm dF dF x+=⋅=μα∴ ()⎰+-=lyxa dxa km F 02322μ()⎰+=lxxa xdxkm F 02322μ引力大小为yxFF F22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ,质量为im (i =1,2,…,n )的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决. 例6.设有一个半径为R,质量为M 的均匀圆盘, (1) 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量. (2) 求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:(1)建立坐标系如图.设圆盘面积为ρ.对应于[x,x+dx]的小圆环对轴l 的转动惯量为 dx x dI32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为24321212I MRR dx x ===⎰πρπρ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴,建立坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R x dx yx dI y 222222-==ρρ 故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R R Ry ⎰--=222I ρ dx x R x R 22024-=⎰ρ tdt t R 22024cos sin 4⎰=πρ(令x=Rsint ) 244141MR R ==ρπ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ 1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q 的步骤:(1) 先用微分分析法求出它的微分表达式dQ 一般微分的几何形状有:条、段、环、带、扇、片、壳等.(2) 然后用定积分来表示整体量Q ,并计算他.2. 定积分的物理应用:变力做功,侧压力,引力,转动惯量等.○1抓起污泥后提出井口,已知井深30m ,抓斗自重400N ,缆绳每米重50N ,抓斗抓起的污泥中2000N ,提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,问克服重力需做多少焦耳(J )功?(99考研)提示:作x 轴如图.将抓起污泥的抓斗由x 提升dx 所作的功为井深30m ,抓斗自重400N ,缆绳每米重50N ,抓斗抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++= 克服抓斗自重:dx dW 4001= 克服缆绳中:()dx x dW -⋅=30502抓斗升至x 处所需时间:3x (s ) 提升抓斗中的污泥:dx x dW ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=32020003()dx x x W ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+=∴30032020003050400 ()J 91500= ○2.设星形线t a x 3cos =,t a y 3sin =上没一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,再点O 处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.提示:如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++= αcos ⋅=dF dF x ()ds y x x y x k 222122+⋅+= kxds =kyds dF dF y=⋅=αsin ()[]()dt t t a t t a t a k F x 22223cos sin 3sin cos 3cos ⋅+-⋅⋅=⎰ ⎰⋅=2042sin cos 3πtdt t k a 253ka = 同理253ka F y = 故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为 2253ka F =在高中物理中还有很多例子,比如我们学过的瞬时速度,瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想,所有这些例子都有它的共性。
作为大学知识在高中的应用,虽然微积分高中不要求,但他的思想无不贯穿整个高中物理。
“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段,拓展了我们的思维。
我们在学习的时候,要学会这种研究问题的思想方法,只有这样,在紧张的学习中,我们才能做到事半功倍。