2.点电荷对接地导体球的镜像
例：一半径为a的导体球，外壳接地一点电荷q1 置于距球心距离d处，求球外电位分布。
zq1 r1 p(x,y,z) 设q2位于距球心距b处离，
d b
s1 r2
则球外一点的电位：
q2
r
1 （q1 q2)
y
40 r1 r2
x s2
在球面上取两个特殊 点s的 1,s2, 它们的电位均0为 .所以得：
磁流强度
K sJm dS —磁流强度
l
图（a）是一密绕螺线管，电感量为L，
（a）
长度为l,通低频电流 i Ie，j我t 们可以将其
看作一块磁铁，磁体内部有磁流K，磁铁两
Qm Kl
Qm
端分别有磁荷 和 Q ，m 因 Q而m 构成一个磁偶 极子（图b），且有
Qm LI K jLI
对图（c）所示小圆环电流就其远区辐射
b
U0
解：选定直角坐标系
2
2
x2
2
y2
0
（D域内）
0
(x0,0yb)
边值问题
0
(xa,0yb)
0
(y0,0xa)
U (yb,0xa)
0
分离变量法的前提是假设待求函数有分
离变量形式的解。
(x,y)f(x)g(y)
代入到二维拉氏方程：
g(y)d2dfx(2x)f(x)d2 dgy(2y)0
f1 (x)d2 dfx(2x)g(1y)d2 dgy(2y)0
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
➢若在某一个方向的边界条件是非周期的， 则该方向的解要选双曲函数；
➢若函数与某一坐标无关，则该方向的分离 常数为0。
结论：要满足边界条件
|xa
x0
0,
只有选取：
k x 为实数，k y j y
g (y ) B 1 s h (yy ) B 2 c h (yy )
f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
1（q1 q2 )0
40 da ab
410（d＋ q1aa＋ q2b)0
从而求得 ba2 d
q2 d aq1
另外，r1，r2 可以表示为
r1 r2 d2 2rdcos r2 r2 b2 2rbcos
➢镜像电荷的量值与原电荷一般不相等；
➢导体球在靠近点电荷一边感应密度大，而 远离的一边密度小，同时考虑到球上电荷 分布左右对称，所以镜像电荷应位于上半 球内的球心与实际电荷的连线上。
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
J
Jm
后可有一个方程组得到另 一个方程组，可由一类边
m 界条件得到另一类边界条
件。
如果描述两种物理现象的方程具有相同的数 学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的 数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称 为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称 为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量 称为对偶量。
例
z θ
r
IL
z θ r
Kl
z θ r
IS
E
ห้องสมุดไป่ตู้
j0 Il sin e jkr 4 r
H
jk0 Il sin e jkr 4 r
H j40rKlsinejkr Ek40r0ISsinejkr
E
jk0Klsinejkr 4r
H
k02ISsinejkr 4r
教材上总结出了静态场与恒定电场、静电场与 恒定磁场之间的对偶关系。
q q 0 z0 40r 40r
所以 镜像电荷为-q，放在和q对称的地方。
图 平面导体的镜像
q q 40r1 40r2
4q0{[x2y2 1 (zh)2]1 2[x2y2 1 (zh)2]1 2}
➢对于平面边界，镜像电荷位于与实际电荷关于 边界对称的位置上，且两者大小相，符号相反。
➢对于两相交平面，角域夹角为π/n，n为整数时， 有(2n－1)个镜像电荷。
静态场与时变场的最本质区别：静态场中的 电场和磁场是彼此独立存在的。
二、泊松方程和拉普拉斯方程
1.静电场的泊松方程和拉普拉斯方程
静电场基本方程
l Edl 0
DdS S
V VdV
E 0
DE D V
——静电场是有散(有源)无旋场，是保守场。
E
D EV
()V 2 V ——泊松方程
静态场分析
一、静态场特性 二、泊松方程和拉普拉斯方程 三、静态场的重要原理和定理 四、镜像法 五、分离变量法 六、复变函数法
一、静态场特性
1.静态场基本概念 静态场是指电磁场中的源量和场量都不随
时间发生变化的场。
– 静电场是指由静止的且其电荷量不随时间变 化的电荷产生的电场。
– 恒定电场是指导电媒质中，由恒定电流产生 的电场。
H dl l
S Jc dS
S BdS 0
B H
H Jc B 0
——恒定磁场是无散有旋场。
BA
B H Jc
AJc
A ( A ) 2 A J c 库伦规范 A0
2AJc ——矢量泊松方程
2A Jc 分解
2Ax Jx 2Ay Jy
Jc 0
2Az Jz
kx2
k
为实数，
x
f(x ) A 1 s in ( k x x ) A 2 c o s ( k x x )
kx j x , f(x ) B 1 s h (x x ) B 2 c h (x x )
k x 0 , f(x)C1xC2
➢若在某一个方向的边界条件周期的，则该 坐标的分离常数必为实数，其解要选三角 函数；
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
kx2
1 g( y)
d 2 g( y) dy2
ky2
kx2 ky2 0
分离常数
kx2
k
2 y
0
k
x 为实数， k
为虚数。
y
k k
为虚数，
x
为实数。
y
kx 0, ky 0,
当 k x 取不同形式的值时，f ( x ) 的解：
f
1 (x)
d2 f (x) dx2
理解
➢ 静态场的边值问题能用解析法直接求解的并不 多，许多问题需借助各种间接方法求解。那么 用各种方法求得的边值问题的解是否正确？边 值问题的解是不是独一无二的？ 这就是边值问 题的惟一性问题。
➢ 惟一性定理对上述问题做了肯定的回答，它表明 只要给出场域内的位函数分布及边界面上的函数 值，则场分布是唯一确定的。
– 恒定磁场是指由恒定电流或永久磁体产生的 磁场，亦称为静磁场。
2.静态场的麦克斯韦方程组
D0, B0,V 0
t t t
H d l l
S Jc dS
H Jc
lE dl 0
E 0
D d S S
V VdV
D V
S B dS 0 S Jc dS 0
B 0 Jc 0
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
• • • •
有限差分法 有限元法 边界元法 矩量法 模拟电荷法
• • • •
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
三、静态场的重要原理和定理
1.对偶原理 （1）场源的概念
为了分析某些电磁场问题的方便，我们引入了磁 荷和磁流的概念，这样场源的概念将扩大到电荷、磁 荷、电流和磁流。
mM ms Mn
Jm
——体磁荷密度 ——面磁荷密度 ——体磁流密度
引入以上等效场源后，Maxwell方程修改
为：
HJcjE
E Jm j H
Bm DV
对应电流连续性方程，引入磁流连续性方程
Jmjm0
电磁场的边界条件也做相应的修改
n ˆ(D 1D 2)S
对于理想导体（σ=∞），其边
n ˆ (E 1E 2) Jm
a1 b2
必然满足拉普拉斯方程。 利用叠加定理，可以把比较复杂的场问题分解 为较简单问题的组合，便于求解。
3.惟一性定理 （1）边值问题的分类
第一类 边值问题
第二类 边值问题
第三类 边值问题
S
f1(s)
狄里赫利问题
n
S
f2 (s)
诺伊曼问题
()
n S
f3(s)
混合边值问题
（2）惟一性定理
惟一性定理：在给定边界条件下，泊松 方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
恒定电场基本方程
lE dl 0 S Jc dS 0
Jc E
E 0 J 0
——导电媒质中的恒定电场具有无散、无旋场的特征， 是保守场
E
Jc E0
()0
2 0 ——拉普拉斯方程
3.恒定磁场的矢量泊松方程
恒定磁场基本方程
五、分离变量法（直角坐标系）
分离变量法是一种最经典的微分方程法， 它适用于求解一类具有理想边界条件的典型 边值问题 。其主导思想就是将求解偏微分 方程定解的问题转化为求解常微分方程的问 题。