E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU

U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E

1
4 0

dq r3
r

sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U

1
4 0

dq r

U LE dl
3 E U

U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律

高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3

E
ds

1
dv
s
0 v

l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
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定义电势梯度
gradU

dU dn
en
单位:V/m
其量值为该点电势增加率的最大值。
方向与等势面垂直，并指向电势升高的方向。
电势梯度与电场强度的关系
电荷q从等势面1移动到等
§8-5 电场强度与电势梯度的关系
一 等势面 空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势
面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势
面间的电势差相等.
在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功
Aab q0 (Ua Ub ) 0
在静电场中，电场强度 E总是与等势面垂直的，
即电力线与等势面正交.


3、两个物理量： E ——反映场力性质， F qE ，
要求唯一。
U ——反映场能性质，W qU ，
要求可微。
4、三种方法：已知电荷分布，求电场分布
(1) 场强公式；
(2) 高斯定理；
(3) E U
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5、场的形象化几何描述：
电力线——规定、性质、通量
[ 20
r2

x2 ]0R

20
[
R2 x2 x]
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所以P点场强为Ex源自 U x 20
(1
Ey
U y
0
x) R2 x2
U Ez z 0
即轴线上一点的场强为
uv E

(1
20
xv )i
R2 x2
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E U
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v k
x y z
电场中任意一点的场强等于该点电势梯度的负值. 电势梯度的单位为伏特/米(V/m)
uv dU v E n0
dn
v n0 表示法线n方向的单位矢量。
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gradU

U

E

gradU
U

dU
v n0
dn
电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面
++++++++++++
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一对等量异号点电荷的电力线和等势面
+
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二、电势梯度
在电场中任取两相距很近的等势面1和2，
电势分别为U和U+dU，且dU>0
等势面1上P1点的单位法向矢量为 en
与等势面2正交于P2 点。
1
在等势面2任取一点P3 ，设
p1 p2 dn p1 p3 dl
b vv
Aab
a
q0 E

dl
0

E dl
q0 0
E0
dl 0
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按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相 等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小．
点
电
荷 的
dl2 dl1
等 势
E2 E1
面
dl1
dl2
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两平行带电平板的电力线和等势面
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例8.12 利用场强与电势梯度的关系，求半径为R， 面电荷密度为σ的均匀带电圆盘轴线上的场强.
解 如图所示 dq 2 rdr dr2
dU

dr2 40 (r2 x2 )1/2
则圆盘在P点产生的电势为
U

dU
40
R dr2 0 (r2 x2 )1/ 2


dU dn
en

gradU
en
11 E
22
P1
en P2
P3
V V+dV
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在直角坐标系中
Ex


U x
Ey


U y
Ez


U z
uv E

( U
v i
U
v j
U
v k)
x y z
E gradU U


v i

v j

法线方向的变化率，它的方向沿等势面法向且指
向电势增大的方向.
讨论
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？

2） U 0 的地方，E 0 吗 ？


3） E 相等的地方，U 一定相等吗？等势面上 E
一定相等吗 ？
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③ E 与U并非直接关系
E U

U E dl