哪些力具有做功与路径无关这种性质？ 引力 引入引力势能 重力 引入重力势能 势函数 弹性力 引入弹性势能 （位） 静电力 引入静电势能
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
APQ q0 E d l WPQ WP WQ (WQ WP )

可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 无限大平面板的势能零点能否选在无穷远？

问题

例:
2.电势的计算
Up
(1) 用定义法求U 例1. 真空中一半径为R的球面，均匀带电Q，求带电 球所在空间任意一点P的电位U=？ R 解：由高斯定理已求得电场分布： rR E0 设 r，U=0 Q ˆ rR E r 2 4or P点处在球外 r>R： dr r Q r Q Q ˆ r d l dr U p E dl 4 r 2 4 r 2 4orp o P o P p P点处在球内 r<R U p E dl E=0 =0 p 0 r R r Q U p E dl E dl E dl 4oR P rR p 41
Q
E dl 0
静电场的环路定理
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分等于 零。 E d 0
L
说明：
（ 1 ）环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路 定理检验一个电场是不是静电场。 (2) 环路定理要求电力线不能闭合。静电场是有源、
无旋场。
讨论



在证明 Gauss 定理中，说电力必须与 r2 成反比， 那么在环路定理的证明中是否也必须要求与 r2成 反比？ 答：不一定 如弹性力 f kr 也有类似性质

在任意电场中取一闭合回路，将试探电荷沿路径 L从 p——Q——P，电场力所做的功为
Q P L P ( L1 )
Q
A q0 E d l q0 E d l q0 E d l
Q ( L2 )
q0 E d l q0 E d l 0
p ( L1 ) p ( L2 )

静电场力做功只与起点终点有关，与路径无关
点电荷组产生的场
q1 , q2 ,, qn

E E1 E2 En
在电场中把试探电荷从P移至Q电场力所做的功 Q Q APQ F dl q0 E dl P P Q Q Q q0 E1 dl E2 dl En dl P P P
证明

单个点电荷产生的场

把试探电荷q0从P移到Q
Q Q Q P P P
APQ F d l F cosdl
APQ qq0 4 0
rQ
qq0 Fdr Fdr rP ' 4 0
rQ
ห้องสมุดไป่ตู้
dr rP ' r 2
rQ
rQ dr qq0 1 1 rP ' r 2 4 0 rp ' rQ q0 rP ' E (r )dr
P
电势能的 改变量
q0在 P点 的电势能
q0在 Q点 的电势能
电势增量

可以与重力做功类比
电场力做正功，电势能将减少 电场力做负功，电势能将增加

电势的定义
0 电 场 付 出 能 量 ， 能 量少 减 APQ WPQ (电 势 能 的 减 少 ，与 场 源 和 q0均 有 关 电 场 吸 收 能 量 ， 能 量加 增 0
每项均与路径无关，只与位置有关
任意有限大的带电体产生的电场
可以将带电体无限分割成微元，每一个 微元均为一点电荷 ——点电荷组 结论： 在任何电场中移动试探电荷时， 电场力所做的功除了与电场本身有关外， 只与试探电荷的大小及其起点、终点有 关，与移动电荷所走过的路径无关。

静电场的环路定理

静电场力做功与路径无关 等价 于静电场力沿任意闭合回路做功 恒等于零 E dl 0
q0 4 0
P 到 q1 的距离
q2 q2 qn qn q q 1 1 r r r r r r p 1 Q 1 p 2 Q 2 pn Qn
Q 到 q1 的 距离
标准点
UP
E d
P
电势零点的选择：（1）若带电体系局限在有限大小的 空间里，通常选择无穷远处为电势零点。 （2）若带电体系电荷分布在无限大的区域内，通常取 有限位置处为电势零点。 （3）实际工作中常以大地或电器外壳为电势零点。
空间某点的电势值
例：选择无穷远为势能零点, P点电势值为
U ( p) U P

AP E dl P q0
两点之间电势差可表为两点电势值之差
Q Q P P
U PQ E d l E d l E d l U ( P) U (Q)

单位：1V(伏特）＝1J/C
讨论



电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取

从中扣除q0,即引入电势
WPQ q0 APQ q0
Q P
U PQ E d l

P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差

（三）电势(electric Potential)
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点“标准点
”过程中电场力作的功。（令“标准点”的电势为零）
§4 电势及其梯度
习题 p74 1-24、25、26、 36、37、39、41
静电场力做功与路径无关
电荷间的作用力是有心力 ——环路定理 讨论静电场的环流

流速场的环流

0 有旋 v dl 0 无旋
静电场：电力线不闭合 E dl 0 可以猜到静电场的环流为零