§ 5-4
静电场的环路定理
当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作 功，这说明静电场具有能量。
一、静电场力的功
d A = F . d l = q E .dl b r rb = q E .dl cosφ dl qq φ φ q = q E .dr = 4 r 2d r π ε ra q E q q rb d r qq 1 1 a A= 2 = r r 4π 4 π ra r b ε a ε
§5-5
等势面 电场强度与电势梯度的关系
注：相邻等势面之间的电势差相等。
一.等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面。
等势面的性质： （2）等势面与电场线处处正交 （3）电场线指向电势降低的方向 （4）等势面和电场线密集 处场强量值大，稀疏处场强 量值小
（1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零
=
q 4πε
o
[
x (x + R )
2 2 3 2
]
V dV
B2
n
B3
dn φ
B1
dV E dn
V
dl
II I
E
dV E dn
负号表示E与n的方向相反，正是E的方向
dV E n gradV dn
电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的
负值。
任一方向的电场强度的分量：
V dV
B3 II dn φ
B2
n
1. 点电荷的电势 Vp =
p
E .dl =
8
q 4 πε 0 r
2
8
p
d r cos 0
0
q 1 1 4o r r a
q
dr
r
E
V=

q
若q>0,则V>0
πε 0 r 4
若q<0,则V<0
2. 点电荷系的电势 = p E 1 . dl +
8
8 8
2 dr 4 πε o r
q
8
+ +
R
+
+
+ +
=4 R πε o
r .P
+
+ +
+
+
均匀带电球面球内任意一点的电势等于球表面 的电势。

2. r
≥
R
8
(球外任意一点)
+ +
q
+
+ +
. dr =r E 外
= r d πε o r r 4 q =4 πε o r
2
q
+ +
+ +
R
+
r ++
+
+ + +
8
.P
均匀带电球面，球外任意一点的电势等于将电 荷集中于球心的点电荷的电势。

德国生理学家 物理学家
亥姆霍兹
（1821-1894）
电 势 梯 度
趣闻轶事: 十九世纪的“万能”博士 亥姆霍兹是19世纪一位“万能”博士，一身兼任生理学 家、物理学家、数学家以及机智的实验家等多种头衔。 19世纪末，一位评论家对亥姆霍兹写过这样的话：“他 从研究生理学开始，解剖了眼睛和耳朵，探索它们是怎 样起作用的，准确构造是怎样的。但是，他发现要研究 眼睛和耳朵的作用，就不能不同时研究光和声的本性， 这导致他研究物理学。当他开始研究物理学的时候，已 经是这个世纪最有成就的生理学家之一，以后他又成了 这个世纪最伟大的物理学家之一。可是他又发现，要研 究物理学不能不掌握数学，就又研究数学，成为这个世 纪最有成就的数学家之一。”
+
电偶极子的等势面
+
平行板电容器的电场线与等势面
+ + + + + + + + +
二、电势梯度矢量
考虑空间两等势面V, V+dV ，作等势面的法线与两 等势面交于B1 、B2两点, 相距dn ,任意点B3距B1为dl .
V 沿n方向变化率最 大, 定义B1处的电势 梯度矢量 dV n dn
V dV V
保守力作功等于势能的减少
a Wa
b
Wb
Aab qo
b
a
E dl Wa Wb
令b点的势能为零（Wb =0） a点的电势能：
Wa
b
a
qo E dl
试验电荷qo在空间某处的电势能在数值上就等于
将qo从该处移至势能的零点电场力所作的功。
注
电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场 源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零点选取 在无穷远处。
电势叠加原理
V p = p E .dl = p ( E 1 + E 2 +
p
) . dl
+
E 2 . dl
8
= V1+ V2 +
对于点电荷系：
=Σ V i q2
P
r2
q2
V=
4 πε
q1
r1 q1
+ r 4 πε 0 1
0 r2
+
V = Σ πε r i 4 0
qi
3. 连续带电体的电势
dV = 4 πε 0 r
0 0
r
dr φ
dl
0
0
0
0
0 0
0 0
给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作
的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与 路径无关。即电场力是保守力。静电场是保守场。
保守力作功的特点：
静电场的环路定理：
静电场中电场强度
E d l 0
l
的环流为零。
二、电势能、电势、电势差 1、电势能(W)
３、电势差


Aab qo a Wa Wb b a E dl qo qo
b
E dl Wa Wb
Va V b = E . dl a
b
静电场中a,b两点的电势差，等于将单位正电荷
从a点移至b点电场力所作的功。
Aab qo (Va Vb )
三、电势的计算
dq
dq
dq V= 4 πε 0 r
注：电势的叠加是标量叠加，不同于电场强度的叠加。
[ 例1 ] 求一均匀带电球面的电势。已知：q , R 。
1. r ≤ R
8
(球内任意一点)
R 8
V = r E . d l = r E 内. d l + R E 外. d l
q
+ + + + +
= 0 + R q
dl
电场中某一点的场强沿任一方
向的分量等于这一点的电势沿该方 向的方向导数的负值。
V El
E
B1
I
[ 例1 ]
已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：
q V =4 = 2 2 1 πε o r 4πε o ( x + R )
求：轴线上任一点的场强。 解：
q
2
E = Ex =
V x
R
r
x
P
x
a点的电势能：
Wa

a
qo E dl
电势能是系统的，不能反映场的性质，但其比值 w/q0与q0无关，反映的是场的性质。
２、电势
Wa Va E dl a qo
单位：伏特（V）
点的电势在数值上等于将单位正电荷从 a点移到 无穷远处静电场力对它所作的功。
a
B2
n
φ B3 I I
dn
B1
dl
I
电势梯度矢量： 记为： 即
V dV V
B2
n
B3
φ dn
B1
II I
dl
dV n dn
大小：电势梯度的大小等于电势 在该点最大空间变化率 方向：沿等势面法向，指向电势增加的方向
三、场强与电势梯度的关系
dAB1B2 qo V V dV qo E dn