(yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
M Ox ( F ) = yFz zFy M Oy ( F ) = zFx xFz M Oz ( F ) = xFy yFx
1.1.3 力对轴的矩
力对轴的矩(moment of a force about an axis) 用来量度力对其所作 用的刚体绕某固定轴 转动的效应。
已知力F在各坐标轴上的投影，则可求得力F的大 小和它相对于各轴的方向余弦，即
cos( F , i ) Fx / F cos( F , j ) Fy / F cos( F , k ) Fz / F
1.1.2 力对点的矩
力矩(moment of a force)是用来量度力使物体 产生转动效应的概念。 ● 力对点的矩的概念 作用于刚体的力 F 对空间任意一点 O 的力矩 定义为
k
Fxy
y
O
h
rxy
x
力矩的单位在国际单位制(SI)中为牛顿· 米 (N· m)或千牛顿· 米(kN· m)。
● 力对点的矩在坐标轴上的投影
z MO(F) k r
F
i
x
O
j
y
F Fx i Fy j Fz k
r xi yj zk
i
j y Fy
k z Fz
MO (F ) r F x Fx
z
z
M z (F) > 0
M z (F) < 0
• 当力的作用线与 z 轴平行 (Fxy = 0) 或相交 (h=0) 时，或概括起来讲，当力与轴共面时， 力对轴的矩等于零。
力对轴之矩 M z (F ) = MO (Fxy ) = (rxy Fxy ) k
z
k
O h
Fz
rxy Fxy
F
矢 量 表 达 式
集 中
F1 F2
力
实际上要经一个几何点来传递作用力是不可能 的，集中力只是作用于一个小区域上的分布力， 一切真实力都是分布力。
P
A
C
B
集中力只是分布力在一定条件下的理想化模型。 能否进行这种简化主要取决于我们所研究的问题 的性质。
● 力在坐标轴上的投影
F Fx i Fy j Fz k
平面问题
平面问题中，由于矩心与力矢均在同一个特 定的平面内，力矩矢总是垂直于该平面，即力 矩的方向不变，指向可用正、负号区别，故力 矩由矢量变成了代数量，且有
O●
MO(F ) Fh
r
h
F
O● h
MO(F) = ± Fh
F
正负号通常规定为:
+
逆时针为正
–
顺时针为负
平面问题 —矢量表达式
z
MO(Fxy)=(rxy× Fxy) · k
理论力学
理论力学
第一部分 静力学
第一部分 静力学
• 引论
刚体静力学(statics of rigid bodies)研究刚体 (rigid body)在力系的作用下相对于惯性系静止 的力学规律。
(1) 力学模型—刚体
在力的作用下不变形的物体称为刚体。 在实际生活中，完全不变形的物体并不存在， 刚体不过是实际物体和构件的抽象和简化。
—平衡力系所要满足的数学条件。 刚体在平衡力系的作用下并不一定处于静止 状态，它也可能处于某种惯性运动状态。
(3) 基本问题：
● 物体的受力分析； ● 力系的等效替换及简化； ● 力系的平衡条件及其应用。
1. 工程力学教程 (Ⅰ)
范钦珊 主编 高等教育出版社（‘九五’
参 考 书 目
国家级重点教材）
矩轴 (axis of moment) Oz
z
F
● 力对轴的矩的概念
作用于刚体的力F 对 z 轴的矩定义为
Fz
z
F
h
M z (F ) = MO (Fxy ) = Fxy h
空间力对轴之矩归结为平 面上的力对点之矩。
O
Fxy
力对轴的矩是代 数量。 正负号的规 定是按右手定则与 z 轴的指向一致时为 正，反之为负。
我们得到一个说明力对轴之矩与力对点 之矩的关系的重要结论：力对任意轴之 矩等于该力对轴上任一点之力矩矢在该 轴上的投影。
于是我们有力对坐标轴之矩的解析表达式：
M x ( F ) M Ox ( F ) yFz zFy M y ( F ) M Oy ( F ) zFx xFz M z ( F ) M Oz ( F ) xFy yFx
r rz + rxy F Fz + Fxy
z
MOz (F ) (r F ) k
F
MOz(F) MO(F)
r O rxy
Fxy
y
x
即有
MO z (F ) [(rz + rxy ) (Fz + Fxy )] k
将上式右端展开，并注意到
rz Fz 0 (rz Fxy ) k 0
理论力学
静力学基础
1.2 力系等效原理 1.3 力偶与力偶矩
1.2 力系等效原理
1.2.1 力系的主矢和主矩 ● 力系的主矢
作用于某刚体上的若干个力 F1,F2,„,Fn 构成空 间一般力系(three dimensional force system)，通常 表示为（F1,F2,„,Fn）。这n个力的矢量和
● 力对点之矩与力对轴之矩的关系 首先将力的作用点的矢径r和力F分 解如下:
r = rz + rxy
F = Fz + Fxy
力F 对O点之矩MO(F)在 z 轴上的投影为：
MOz (F ) (r F ) k
MO(F)在 z 轴上的投 影 z
k MOz(F) MO(F) r
O y
F
x
MOz (F ) (r F ) k
○力矢量的表示: F1、FA… ○力矢量的模: F1、FA…
F1 、 FA
○力的作用点 ○力的作用线 ○量度力的大小的单 位,在国际单位制中用 牛顿（N） 千牛顿（kN）
FA C FC B A F1
● 作用力和反作用力
力的另一重要性质是由牛顿第三定律 (Newton’s third law)所描述的作用力和反作用 力之间的关系，即: 两个物体之间的作用力与反作用力总是同时 存在，且大小相等、方向相反、沿同一直线， 并分别作用在两个不同的物体上。
M y ( F ) zFx xFz 0
6 M z ( F ) xFy yFx Fr 6
x = r, y = 0, z = 2r
6 Fx F , 6 6 Fy F, 6 ( F ) Fr ( 2i k ) 6
6 MO ( F ) Fr ( 2i k ) 6
z
e E
B
F
y D
根据
M x ( F ) M Ox ( F ) yFz zFy M y ( F ) M Oy ( F ) zFx xFz M z ( F ) M Oz ( F ) xFy yFx
于是F 对各坐标轴之矩分别为
6 M x ( F ) yFz zFy Fr 3
吊车梁的变形
δ
• 吊车梁在起吊重 物时所产生的最 大挠度 δ 一般不 超过梁的跨度的 1/500
这种小变形对于两端支承力的影响是微不足 道的，因此在计算两端的支承力时，吊车梁可 简化为刚体。
但在研究吊车梁的强度问题时，就不能这 样简化了。
简化的条件除了要求物体的变形不大 之外，更重要的是这种变形对我们所研 究的问题的结果产生的影响要足够小。
MO(F ) = r F
式中O点称为矩心(center of moment)，r为矩心 O引向力F的作用点A的矢径，即力对点的矩 (moment of a force about a point)定义为矩心到 该力作用点的矢径与力矢的矢量积。
MO(F)=r×F
h
Plane determined by O and F
(rxy Fz ) k 0
则有MO(F)在 z 轴上的投影
MOz (F ) (r F ) k (rxy Fxy ) k
而另一方面力F 对z轴之矩可表示为
M z (F ) = MO (Fxy ) = (rxy Fxy ) k
因此
M z (F ) = MOz (F )
Fx F i F cos Fy F j F cos Fz F k F cos
Fzk γ F
β
α Fxi Fyj
力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意 它的符号。
二次投影法 (second projection)
z
F
γ φ x Fxy y
(2) 力系
作用于同一刚体的一组力称为力系 ( system of forces) 。 F4 F2
A FAy FAx FB M B q
F3
F1
α
平衡力系(force system of equilibrium) —使刚体的原有运动状态不发生改变的力系。
平衡条件(equilibrium conditions)
1.3 力偶与力偶矩 1.4 物体的受力分析 1.4.1 约束与约束反力 1.4.2 物体的受力分析
1
1.1 力和力矩
静力学基础
1.1.1 力的概念 力是物体间的相互作用，作用结果使物体的 运动状态发生改变，或使物体产生变形。 对刚体而言，力的作用只改变其运动状 态。
● 力是矢量
力的三要素(three elements of a force) 两个共点力的合成又满足平行四边形法则，因 而力是定位矢量(fixed vector) 。