图中上部四根杆 和三根支座杆都是 必要的约束。
下部正方形中任意 一根杆，除去都不增 加自由度，都可看作 多余的约束。
例3： 计算 图示 体系 的自 由度
W=0,但
布置不当 几何可变。 上部有多 余约束， 下部缺少 约束。
W＝0
s＝1 n＝1
W=3 ×9-(2×12+3)=0 W=2 ×6-12=0
W<0,体系 是否一定
几何不变呢？
例4：计算 图示体系的 自由度
上部 具有多 余联系
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
小结
W>0, 缺少足够联系，体系几何可变。 W=0, 具备成为几何不变体系所要求
的最少联系数目。 W<0， 体系具有多余联系。
W> 0 W< 0
三、体系的计算自由度：
计算自由度等于刚片总自由度数 减总约束数
W = 3m-(3g+2h+b) m---刚片数（不包括地基） g---单刚结点数 h---单铰数 b---单链杆数（含支杆）
铰结链杆体系---完全由两端铰 结的杆件所组成的体系
铰结链杆体系 的计算自由度：
W=2j-b
j--结点数 b--链杆数,含
体系几何可变 体系几何不变
§2 静定结构组成规则
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则：
三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
例如三铰拱
大地、AC、无BC多为余刚几片何;A不、变B、C为单铰
二元体---不在一直线上的两根链杆 连结一个新结点的装置。
在m=11的情况下，刚片间没有铰结点，h=0
W＝3×11－（3×12＋7） ＝－10
解法二：
将ABCDEGHI、FGHIJ看
作刚片，m＝2
A
BC D
E
F
GH I J
G、H、I是连接两个由刚此片可的得单什刚结点，g＝3 F、J是固定铰支座，么各结相论当？于2个约束（联系），再
加上A、E支座的三个约束，共7个约束。
O13 行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
虚铰---联结两个刚片的两根相交链杆的作用，相 当于在其交点处的一个单铰，这种铰称为 虚铰（瞬铰）。
瞬变体系
P
A
C
B
微小位移不后能，C平不1 衡能继续位移
瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为
几何不变的体系。
瞬变体系的其它几种情况：
AC CDB CE EF CF DF DG FG
1
3
1G
有 几
个
3
2
刚
片
有几个单铰？
？
W=3×8-(2 ×10+4)=0
例2：计算图示体系的自由度
1
2
按刚片计算
9根杆,9个刚片
3
3
有几个单铰？
1 2
3根单链杆
W=3 ×9-(2×12+3)=0
另一种解法 按铰结计算 6个铰结点 12根单链杆
W=2 ×6-12=0
在m=2的情况下，刚片间没有铰结点，h=0
W＝3×2－（3×3＋7）＝－10
解法一： 所有结点都是铰结点，j＝16
包括支座在内共有连杆31根
W＝2×16－31＝1
解法二： 图示三角形视为刚片，m＝8 刚片间单铰h＝8，刚结点没有，g＝0 包括支座在内共有连杆7根
W＝3×8－(2×8＋7)＝1
例1：计算图示体系的自由度
2
有
几
个 单
3
铰？
1
讨论
2
3 1
体系W
等于多少？ 可变吗？
W=0,体系 是否一定
几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
除去约束后，体系的自由度将增 加，这类约束称为必要约束。
因为除去图中任 意一根杆，体系 都将有一个自由 度，所以图中所 有的杆都是必要 的约束。
除去约束后，体系的自由度并不 改变，这类约束称为多余约束。
瞬 变 体 系
常变体系
小结
几何不变体系 可作为结构
体系
几何可变体系 不可作结构
无多余联系
静定结构
有多余联系
超静定结构
常变
瞬变
分析示例 加、减二元体 无多几何不变
瞬变体系 去支座后再分析
加、减 二元体
无多几何不变
找虚铰 无多几何不变
找 刚பைடு நூலகம் 片 、 O23 找 虚 铰
无多几何不变 O12
Ⅱ Ⅲ
支座链杆
解法一：
将AB、BC、CD、DE、 FG、GH、HI、IJ、GB、 HC、ID看作刚片，m＝11
A
BC D
E
F
GH I J
B、C、D、G、H、I是连接三个刚片的复刚结点，因
此每个结点相当于2个单刚结点，g＝12
F、J是固定铰支座，各相当于2个约束（联系），再
加上A、E支座的三个约束，共7个约束。
二元体规则：
在一个体系上增加
C
或拆除二元体，不
改变原体系的几何
构造性质。
减加二元体简组化成分结析 构
如何减二元体？
二刚片规则：
两个刚片用一个铰 和一根不通过此铰 的链杆相联，组成 无多余联系的几何 不变体系。
二刚片规则：
两个刚片用三根 不全平行也不交 F 于同一点的链杆 相联，组成无多 E 余联系的几何不 变体系。