本章主要研究：
应力状态应力分析的基本理论 应力、应变间的一般关系
一、强度条件回顾
§13-1 引言
强度条件：保证结构或构件不致因强度不够而破坏的条件。
• 拉压杆强度条件：
m
a
＝
x
FN A
max
单向应力状态
• 圆轴强度条件：
max
T W p
max
纯剪切应力状态
•
梁的强度条件： max
a
max
O
max
b 1 1
c
t ,max
b
b
1
1
d
C ,max
c
c t ,max
y
y
a 点处: 纯剪切； c , d 点处: 单向应力；
b 点处: , 联合作用
复杂应力状态下（一般情况下），如何建立强度条件 ？
分别满足 ? 做实验找破坏时的组合形式？工作量与难度 ?
建立复杂应力状态强度条件的研究思路：
§13-2 平面应力状态应力分析
y y y
x
x x
• 证明分析
C
o y
D ( x , x )
x
F
y E ( y , y )
(x+y)/2 (x-y)/2
x
C
(
x
y
,
0)
2
R
(
x 2
y
)2
2 x
§13-2 平面应力状态应力分析 四、应力圆与微体对应关系 • 点面对应：
微体截面上的正应力和切应力与应力圆点的坐标值一一对应。
§13-2 平面应力状态应力分析
二、应力圆（图解法）
斜截面上的应力公式
x
y
2
x
2
y co s 2
x s in 2
x
y sin 2
2
x co s2
x
2
y
x
2
y
co s2
x sin 2
0
x
2
y
s i n 2
x co s2
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
2 x
§13-2 平面应力状态应力分析
E(y ,x)
§13-2 平面应力状态应力分析
五、应力圆的应用
H
H (, )
计算斜截面上的应力
y
y y
n
x
x x
D H
C 220x
o y
F
y E
(x+y)/2 (x-y)/2
x
x
y
y x
x
平
三
面
向
单向应力状态
应
应
纯剪应力状态
力
特例
状 态
特例
力 状 态
§13-2 平面应力状态应力分析
y
y
• 平面应力状态
y yy x
x xx
微体有一对平行表面不受力的应力状态。
➢ 微体仅有四个面作用有应力；
x
x ➢ 应力作用线均平行于不受力表面；
z
y
y
y y
α x α x
• 平面应力状态的应力分析
y y
xx
H( , )
O
c
E(y ,x)
D(x ,x)
§13-2 平面应力状态应力分析 四、应力圆与微体对应关系
• 夹角2倍、转向一致：
• 夹角2倍：应力圆半径转过的角度是微体截面法线旋转角度的两倍。 • 转向一致：应力圆半径旋转方向与微体截面法线旋转方向一致。
y y
xx
H( , )
2
O
c
D(x ,x)
已知x , y, x , y 求任意平行于z轴的斜截面上的应力 x
z
§13-2 平面应力状态应力分析
一、平面应力状态斜截面应力
正负号规定
：拉为正；压为负
τx = − τy
τ：使微元体顺时针转动为正（与剪力Fs规定相同）
α：从坐标轴x正向逆时针旋转至斜截面法线方向为正
§13-2 平面应力状态应力分析
材料物质点应力状态· 应力微体 材料失效机理
强度条件
• 应力状态
A
构件受力后，通过其内一点在不同方向面上应力的集合， 称之为该点的应力状态。
• 微（元）体、单元体 围绕所研究点取无限小微六面体
(1)微体的尺寸无限小，边长为1； (2)每个面上应力均匀分布； (3)对面上应力相等。
选取原则：面上应力已知或可求
(
x
2
y
)2
2
(
x
2
y
)2
x2
—坐标系下的圆方程
圆心坐标：
（ x y ， 2
0）
o
R
半径：
R
(
x 2
y )2
x2
(x+ y)/2
结论：平面应力状态下各方向的应力轨迹为一个圆
——应力圆
三、应力圆的绘制
绘制方法1：
§13-2 平面应力状态应力分析
以 （ x y ， 0） 为圆心，
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
§13-2 平面应力状态应力分析
斜截面上的应力公式
解析法
x
2
y
x
2
y cos2
x sin 2
x
2
y
s i n 2
xcos2
上述关系式是建立在静力学基础上，与材料性质无关。 换句话说，它既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题。
R
2
o
R
(
x 2
y
)2
2 x
为半径作圆
(x+ y)/2
缺点：
• 需用解析法计算圆心坐标和半径
• 没有反映应力圆上的点与微体截面方位的对应关系
三、应力圆的绘制
§13-2 平面应力状态应力分析
绘制方法2（重点）
y
y
B
O
x
x
c
E(y ,x)
D(x ,x)
建立坐标系
σ−τ
找两点
确定圆心和半径
D( x , x )、E( y , y )
y
y
y
x
x x
x
z
y
微元体
§13-1 引言
三向（空间）应力状态
x x
z
z
zx zy
xz yz
xy
yx
y y
平面（二向）应力状态
y
y
y
x
x x
x
y
§13-1 引言
单向应力状态 y
( One Dimensional
State of Stresses )
纯剪应力状态
( Shearing State of Stresses )
M Wz
max
[ ]
max
F SS z ,max I z
max
[ ]
单向应力状态
纯剪切应力状态
建立强度条件的依据？ 危险点处的应力状态！
螺旋桨轴:
§13-1 引言
A
F
F
T
微体A
采用拉伸强度条件、扭转强度条件，还是其它强度条件？
工字梁
d
d C ,max
1
a maxLeabharlann C az工程力学A
Engineering Mechanics A
主讲教师：李荣涛
建筑工程学院
College of Civil Engineering and Architecture
第十三章 应力状态分析
§13-1 引言 §13-2 平面应力状态应力分析 §13-3 极值应力与主应力 §13-4 复杂应力状态的最大应力 §13-5 广义胡克定律
Fn 0 : F 0 :
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
§13-2 平面应力状态应力分析