江苏省洪泽中学高二数学（理）综合训练（二）一．填空题（每小题5分） 1、计算：2(12)1i i+=-______ 7122i -+2、已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是： ． 正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高。

3、若n xx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 204、将三颗骰子各掷一次，设事件A=“三个点数都不相同”，B=“至少出现一个6点”，则 概率)(B A P 等于91605、已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD＝x SA y SB z SC ++， 则x ＋y ＋z ＝ 12-．6、★若随机变量X 的分布表如图， 若E （X ）=2.5，则V （X ）=_____________．17、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是 21118、如果随机变量ξ～N （0，σ2），且P （－2＜ξ≤0）=0.4 ，则P （ξ>2）等于 0.1 9、设2921101211121222()()()()()x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211++++ a a a a 的值为 -210、已知(3,2,3)=- a ,(1,1,1)=- b x ，且a 与b的夹角为锐角，则x 的取值范围是11、已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大值和最小值分别是 ．22,26212、电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为13、四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________ 3614、若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ； 11二．解答题（每题15分）15、已知n k x x x f )()(1+=，且正整数n 满足53n n C C =，},2,1,0{n A = （1）求n ；（2）若A j i ∈、，是否存在j ，当j i ≥时，j n i n C C ≤恒成立。

若存在，求出最小的j ；若不存在，试说明理由。

（3）,A k ∈若)(x f 的展开式有且只有三个有理项，求k 。

解：(1)n=8(2)存在最大二项式系数满足条件,∴j=4(3)81)()(x x x f k += 展开式通项为 rrk r r x x C T ·)(8181-+==rkrrxC +-88依题意，只须8-r 是k 的整数倍的r 有且只有三个 分别令k=1,2,3……8，检验得k=3或416、在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券 中任抽2张， 求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE .解：（Ⅰ）324515121026=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============CC C P CC C P CC P CC C P C C P ξξξξξ且故ξ有分布列：从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE17、已知)(C z i z w ∈+=，且22+-z z 为纯虚数，求2211-++=w w M 的最大值及M 取最大值时w 的值。

解：设bi a z +=，则2222)2(4)4()2()2(22ba bib a bia bi a z z +++-+=+++-=+-22+-z z为纯虚数，∴422=+b a 且0≠b∴2211-++=w w M =b b a b a 412)1()1()1()1(2222+=++-++++422=+b a 且0≠b ，∴02<≤-b ，或20≤<b当2=b 时，M 取最大值20，这时i w a 3,0==18、某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456Nn n n n n n =，其中N 的各位数中，161n n ==，k n （k =2，3，4，5）出现0的概率为23，出现1的概率为13，记123456n n n n n n ξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期望。

解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．∵161n n ==，∴()442162C 381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31412323C 3381P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭，()22241284C 3327P ξ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3341285C 3381P ξ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭()444116C 381P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭．∴ξ的分布列为 ∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．19、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3，BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.（1）求直线AC 与PB 所成角的余弦值；（2）在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ， 并求出N 点到AB 和AP 的距离.解法：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标为A （0，0，0）、B （3，0，0）、C （3，1，0）、 D （0，1，0）、P （0，0，2）、E （0，21，1），从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC设PB AC 与的夹角为θ，则,1473723cos ===θ∴AC 与PB 所成角的余弦值为1473.（2）由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为（x ，O ，z ），则)1,21,(z x NE --=，由NE ⊥面PAC可得，⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0213,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即∴⎪⎩⎪⎨⎧==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 、AP 的距离分别为1，63.20、已知数列}{n a 满足1133n n n na a a a n +++--+=，且2a =10,(1) 求1a 、3a 、4a ；(2) 猜想数列}{n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明；(3) 是否存在常数c ，使数列}{c n an +成等差数列？若存在，请求出c 的值；若不存在，请说明理由。

解：（1）∵102=a ，将n=1代入已知等式得31=a ， 同法可得213=a ，364=a 。

（2）∵3131⨯==a ，52102⨯==a ，733⨯=a ，944⨯=a ，∴由此猜想(21)n a n n =+ 。

下面用数学归纳法证明。

① 当n=1和2时猜想成立；②假设当n=k （k ≥2）时猜想成立，即(21)k a k k =+， 那么，当n=k+1时，因为1133k k k ka a a a k +++--+=，所以133(1)3(1)(1)(21)11kk k k a k k k k a k k ++-++-++==--=(k+1)(2k+3)这就是说当n=k+1时猜想也成立。

因此(21)n a n n =+成立 （3）假设存在常数c 使数列}{c n an +成等差数列，则有ca ca ca ca ++++-=-23122312把31=a ，102=a ，213=a 代入得210==c c 或 。

当0=c 时，数列}{c n an +即为{2n+1}是公差为2的等差数列； 当21=c 时，数列}{c n an +即为{2n}是公差为2的等差数列。

∴存在常数210==c c 或使数列}{c n an +成等差数列。