空间中的垂直关系（一）
【知识概述】
垂直关系是每年高考必考的知识点之一，考查重点是线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质，以及线面角、二面角的求法．题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高，客观题突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性质，考查线面角、二面角的求法，主观题考查较全面，在考查上述知识的同时，还注重考查空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．本节课通过知识的梳理和典型例题的讲解，使同学们理解和掌握空间中的垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直），提高学生的空间想象能力、抽象概括能力、几何直观能力以及计算能力.
1.线线垂直
如果一条直线l 和一个平面α垂直，那么l 和平面α内的任意一条直线都垂直.（线面垂直⇒线线垂直）
2.线面垂直：
方法一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（线线垂直⇒线面垂直）
方法二：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直+线线垂直⇒线面垂直）
3．面面垂直
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直⇒面面垂直）
4.垂直⇒平行
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
【学前诊断】
1．[难度] 易
设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂
B ．若//,//l ααβ，则l β⊂
C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥
D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
2．[难度] 易
已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是“m β⊥” 的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．[难度] 中
如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ABCD ⊥底面，点E 在棱PB 上.
（1）求证：平面AEC PDB ⊥平面；
（2）当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小.
【经典例题】
例1．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A ．若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α
B ．若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α
C ．若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m
D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m
例2．如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有
一个点Q 满足PQ ⊥QD ，则a 的值等于________．
例3．如图，已知P A 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若
∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD.
例 4．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EC ⊥AC ，EF ∥AC ，
AB ＝2，CE ＝EF ＝1.求证：CF ⊥平面BDE.
例 5．如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，
M 是EA 的中点．求证：
(1)平面BDM ⊥平面ECA ；
(2)平面DEA ⊥平面ECA.
【本课总结】
1．直线和平面垂直
(1)判定定理可以简单地记为“线线垂直⇒线面垂直”，定理中的关键词语是“平面内两条相交直线”和“都垂直”．证题时常常是定义和判定定理反复使用，使线线垂直与线面垂直的关系相互转化．
(2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线⊥线⇒线⊥面⇒线∥线⇒线∥面．
2．垂直关系的转化
【活学活用】
1．[难度] 易
下列命题中错误的是
（ ）
A ．如果平面α⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，1αβ=I ，那么l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
2. [难度] 中
如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB=AD ，∠BAD =60°，E 、F 分别是AP 、AD 的中点.求证：
（1）直线EF ∥平面PCD ；
（2）平面BEF ⊥平面P AD.
13. [难度] 难
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC =，D ，E 分别为BC ，1BB 的中点， 四边形11B BCC 是正方形． （Ⅰ）求证：1A B ∥平面1AC D ； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面1AC D ．。