第2讲 Maxwell 方程
在经典、宏观的范围内，Maxwell 方程是反映电磁场运动规律的基本定理，也是研究一切电磁问题的出发点和基础。
2.1 Maxwell 方程的积分和微分形式
Maxwell 方程的积分形式
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅⋅∂∂-=⋅⋅∂∂+⋅=⋅⎰
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰⎰
高斯定理
磁通连续性原理法拉第定律安培环路定理 0 v
s
s
l s l s s dv s d D s d B s d B t l d E s d D t s d J l d H ρ
（2-1）
以及电流连续性方程
⎰
∂∂-
=⋅s t
Q
s d J （2-2） 对于连续媒质空间，利用积分变换，从Maxwell 方程的积分形式可以得到其微分形式：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
=⋅∇=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇
ρD B t B E t D J H
（2-3） 以及 t
J ∂∂-=⋅∇ρ
（2-4）
Maxwell 方程的实践性
Maxwell 方程来源于实践，主要是几个实验定律：库仑定律、安培定律、毕奥一沙伐定律、法拉第定律。
但Maxwell 方程又高于实践，它是在实验的基础上溶入科学家智慧的结晶。
比如，库仑定律R
R
q q F ˆ
4221πε-= ，在实验中得到R 的指数幂其实并不是2，而是1.3，但库仑分析了实践中可能的误差，并与万有引力定律比较，大胆地猜测为2，后来发现，这与球面能量守恒有关。
由库仑定律可以导出Maxwell 方程中的高斯定理，由毕奥一沙伐定律可以导出磁通连续性原理，但
是由实验定律并不能直接导出Maxwell 方程中安培环路定律，而是J H
=⨯∇但是，由上式可得
0=⋅∇J ，不满足电流连续性方程，为此，Maxwell 大但引入了位移电流d D J t
∂=∂
，从而构成了完整自
l d
s d
图2-1 体积分、面积分和线积分示意图
洽的Maxwell方程。
●Maxwell方程的对称性
杨振宁说：对称性决定支配方程。
居里（Pierre Curie）说：不对称性创造世界。
Maxwell方程充满显示了电与磁的对称性，但发现这一对称性却是从不对称性开始的。
历史上磁学发展最早，早在16世纪吉尔伯特就著有<<论磁学>>,1820年丹麦学者奥斯特（Oersted）首先发现电流可以产生磁，并创造了Electromagnetics一词。
法拉弟（Faraday）在1821-1831十年间根据对称性原理，猜测磁铁可以产生电流，但多次失败。
1831年8月29日他发现磁铁在线圈内移动时产生了电流，于是领悟到变化的磁场产生电场。
Maxwell根据对称性，从法拉弟定律猜测到电场变化也可以产生磁场。
奥斯特发现
法拉弟猜想
法拉弟发现
Maxwell发现
图2-2 对称性发现过程
●Maxwell方程的哲学性
1.深刻揭示了电与磁的相互转化，相互依赖，相互对立，共存在电磁波中，正是由于电不断转化
成磁，而磁又断转化为电，才会发生能量交换和储存，因此，电磁波是一对立统一的整体。
2.深刻揭示了电磁场的任意一个地点变化会转化成时间变化，反过来，时间变化也会转化成地点
图2-3 电磁场相互绞链相互转换
变化。
正是这种地点和时间的相互转化构成了波动的外在形式，通俗地说，也即一个地点出现的事物，经过一段时间后又在另一地点出现。
Maxwell 方程的独立性
Maxwell 方程中四个方程并不是完全独立的。
独立的方程有
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
∂∂-=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇t J t B E t D J H ρ
（2-5） 由上式中第一式，可得0=⋅∇∂∂+⋅∇D t J 。
代入第三式，得D t t ⋅∇∂∂=∂∂ρ，即()
0=-⋅∇∂∂
ρD t
，即
const D =-⋅∇ρ 。
由于在静态场时(如0=t 时为静态场) ρ=⋅∇D 故对时变场也有ρ=⋅∇D。
同理由第二式可得0=⋅∇∂∂
B t
，由于静态场时0=⋅∇B 故对时变场也有0=⋅∇B 。
应当注意，上述独立性是利用了静态方程。
独立方程还可以有其他形式，如
⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
=⋅∇∂∂-=⨯∇∂∂+=⨯∇ρD t B E t D J H
（2-6） 也构成独立方程，它可以导出0=⋅∇B ，和t
J ∂∂-=⋅∇ρ。
2.2 媒质界面上的场方程---边界条件
在媒质界面上，由于媒质的性质有突变(με,有奇异
性)，Maxwell 方程的微分形式不再成立。
但积分形式仍然成立。
从积分形式可以导出媒质界面上的场方程即边界条件。
()
s J H H n
=-⨯21ˆ （2-7a ） ()
0ˆ21=-⨯E E n
（2-7b ） ()0ˆ2
1
=-⋅B B n
（2-7c ） (
)
s D D n
ρ=-⋅21ˆ
（2-7d ） [证明1] 如图2-6所示，跨媒质界面两侧作一小扁盒状的体积，0→h 。
应用积分形式的Maxwell 方程（2-1a ），有
Sh t
D Sh J h K S H n H n ∂∂+=+⨯-⨯
)ˆˆ(21
式中，K
表示H n ⨯ˆ关于小盒侧面的线积分。
当0→h 时，
Z Z
T 1时刻
T 2时刻
图2-4 电磁波
11,H E
22,H E
图2-5 两种媒质的交界面
媒质2
媒质界面
图2-7 边界条件的推导
0 0→∂∂→Sh t
D h K
，，则有
s J H H n
=-⨯)(ˆ21 其中，Jh J h s 0
lim →=为面电流密度。
同理，应用电流连续性方程，有
t
Q
dl n J h S J J n l ∂∂-=⋅+-⋅⎰'21ˆ)(ˆ
式中，n
'ˆ为S 的周界l 的外法向单位矢。
当0→h 时，有 t
J J J n s s s ∂∂-⋅-∇=-⋅ρ
)(21
式中，S
dl n J S dl n J h J l
s S l S h s s ⎰
⎰'⋅='⋅=⋅∇→→→ 00
0lim
lim ，为面散度，s ρ为面电荷密度。
2.3频域电磁场
对于时谐场（场量随时间作简谐变化），可采用复函数，取时谐因子t j e ω，则上述时域中只须将
t
∂∂
变为ωj 即可。
注意，如果时谐因子取为t
j e ω-，则
t
∂∂
变为ωj -。
因此，在研究频域电磁场时，一定要事先规定好时谐因子。
由于任何时变场都可以应用Fourier 变换展开为时谐场分量的叠加，所以，研究时谐场具有普遍意义。
习题 2
2．1 讨论Maxwell 方程中四个边界条件的独立性。
2．2 验证}exp{ˆ0jkz E z
E -=
是否为可能存在的电磁场。
2．3 证明边界条件：()0ˆ21=-⨯E E n
和()
s D D n ρ=-⋅21ˆ 。