高中数学专题复习第十三讲：直线与方程
【知识点一：倾斜角与斜率】
（1）直线的倾斜角
①倾斜角的概念：__________________________________________________________________________ .
②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为③倾斜角a的范围
, _________________________________________________________________
（2）直线的斜率
①直线的斜率：___________________________________________________ 记作k二_____________________
⑴当直线l与x轴平行或重合时,k = _________ ;⑵当直线l与x轴垂直时，。
= _________ ; k ________ ..
②经过两点^（x^y!）, P（x2,y2X x^x2）的直线的斜率公式是________________________________
③每条直线都有_______ ，但并不是每条直线都有_____________ .
（3）求斜率的一般方法：
①______________________________________ ；② ___________________________________________________ ；
（4）______________________________________________________________________________________________ 利用斜率证明三点共线的方法：_____________________________________________________________________________
【知识点二：直线平行与垂直】
（1 ）两条直线平行：对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k!,k2，则有h // l2二___________ .
特别地，当直线|1,|2的斜率都不存在时，l l与J的关系为___________ ,
（2）两条直线垂直：如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则有l1丄l2二 _________________ .
【知识点三：直线的方程】
（1）直线方程的几种形式
问题：过两点R（X1, yd F2（X2, y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？
截距式方程的应用：①与坐标轴围成的三角形的周长为： __________________________________________________
② 直线与坐标轴围成的三角形面积为 ： __________________________________________________
;
③ 直线在两坐标轴上的截距相等，则 k = -1或直线过原点，常设此方程 ______________________________________
（2）线段的中点坐标公式
若点RA 的坐标分别是（心yj,（ x 2,y 2），且线段RP 2的中点M （x, y ）的坐标为 _____________________
【知识点四 直线的交点坐标与距离】
（1 ）两条直线的交点
设两条直线的方程是 h : Ax • B i y • C i =0 , I 2 ： A>x B ?y - C^0
两条直线的交点坐标就是方程组 ____________________________________ 的解。
① 若方程组有__________，则这两条直线______，此解就是交点的坐标；
② 若方程组 ______ ，则两条直线 _______ ，此时两条直线平行•
（2 ）几种距离
两点间的距离： 平面上的两点 R i （x 1, y 1）, P 2（x 2, y 2）间的距离公式： ________________________
特别地，原点 0（0,0）与任一点P （x, y ）的距离| OP |= __________
点到直线的距离： 点F 0（x 。
，y o ）到直线 Ax + By +C =0的距离d = ___________________
两条平行线间的距离： 两条平行线 Ax + By+G= 0与Ax + By+C 2=0间的距离 _____________________________ 注:1求点到直线的距离时，直线方程要化为 _____________ ；
2求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为 _______________ 的一般形式后，才能套用公式计算。
精讲精练
点距离平方和最小的点，贝U △ P 1P 2P 3的面积是
【例1】
已知 A(1, J3) ，B （4, 2-、3），直线I 过原点0且与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ 【例2】 在坐标平面内, 与点 A （ 1，2）距离为1,且与点B （ 3，1）距离为 2的直线共有（
【例3】 将直线I 仁y=2x 绕原点逆时针旋转 60°得直线丨2,则直线l 2到直线
l 3： x+2y - 3=0 的角为（ ） A 30
B 60
C 120
D 150 【例 4】 方程x y =1所表示的图形的面积为
【例 5】 设a • b = k （k = 0,k 为常数），则直线ax ■ by = 1恒过定点
【例 6】 一直线过点M （-3,4）,并且在两坐标轴上截距之和为 12 ,这条直线方程是
【例
7】 已知 A (1, 2), B (3, 4),直线 I 仁 x=0, l 2： y=0 和 I 3： x+3y -仁 0、设 P i 是 l i (i=1 , 2, 3)上与
【例8】已知直线（a- 2） y= （3a- 1） x- 1,为使这条直线不经过第二象限，贝U实数a的范围是
【例9】过点A( _5, _4)作一直线I，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5,求满足条件的直线I的方程。
【例10】直线y x 1和x轴, y轴分别交于点代B，在线段AB为边在第一象限内作等边△ ABC，如果在1
第一象限内有一点P(m,—)使得△ABP和厶ABC的面积相等，求m的值。
2
1 2 2
【例11】已知点A(1,1)，B(2, 2)，点P在直线y=?x上，求PA +|PB取得最小值时P点的坐标。
【例12】求函数f (x) —X2 -2x • 2 • '.x2 -4x • 8的最小值。
【例13】在厶ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0, / A的平分线所在直线的方程为y=0 .若点
B的坐标为(1, 2),求点C的坐标.
【例14】直线I过点P (2, 1),且分别与x , y轴的正半轴于 A, B两点，0为原点.
(1 )求厶AOB面积最小值时I的方程；(2) |PA| ?|PB|取最小值时I的方程.
1
【例15】求倾斜角是直线y =- .3x+ 1的倾斜角的4，且分别满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(3,- 1);⑵在y轴上的截距是一5.
【例16】已知直线I : kx- y + 1+ 2k = 0
(1) 证明：直线I过定点；
(2) 若直线I交x负半轴于A,交y正半轴于B, △AOB勺面积为S,试求S的最小值并求出此时直线I的方程。
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