第九章 真空中的静电场9–1 如图9-1所示，电量为+q 的三个点电荷，分别放在边长为a 的等边三角形ABC 的三个顶点上，为使每个点电荷受力为零，可在三角形中心处放另一点电荷Q ，则Q 的电量为 。

解：由对称性可知，只要某个顶点上的电荷受力为零即可。

C 处电荷所受合力为零，需使中心处的点电荷Q 对它的引力F 与A ，B 两个顶点处电荷的对它的斥力F 1，F 2三力平衡，如图9-2所示，即)21(F F F +-=因此12cos30F F ︒=即2202cos304πq a ε=︒解得q Q 33=9-2 真空中两条平行的无限长的均匀带电直线，电荷线密度分别为+λ 和-λ，点P 1和P 2与两带电线共面，其位置如图9-3所示，取向右为坐标x 正向，则1P E = ，2P E = 。

解：（1）P 1点场强为无限长均匀带电直线λ，-λ在该点产生的场强的矢量和，即λλ-+=E E E 1P 其大小为i i i E dd d P 000ππ2π21ελελελ=+=方向沿x 轴正方向。

（2）同理可得i i i E dd d P 000π3π2)3(π22ελελελ-=-=方向沿x 轴负方向。

图9–2图9-3图9–19-3 一个点电荷+q 位于一边长为L 的立方体的中心，如图9-4所示，则通过立方体一面的电通量为 。

如果该电荷移到立方体的一个顶角上，那么通过立方体每一面的电通量是 。

解：（1）点电荷+q 位于立方体的中心，则通过立方体的每一面的电通量相等，所以通过每一面的通量为总通量的1/6，根据高斯定理01d in S q ε⋅=∑⎰⎰E S ，其中S 为立方体的各面所形成的闭合高斯面，所以，通过任一面的电通量为0d 6Sq ε⋅=⎰⎰E S 。

（2）当电荷+q 移至立方体的一个顶角上，与+q 相连的三个侧面ABCD 、ABFE 、BCHF 上各点的E 均平行于各自的平面，故通过这三个平面的电通量为零，为了求另三个面上的电通量，可以以+q 为中心，补作另外7个大小相同的立方体，形成边长为2L 且与原边平行的大立方体，如图9–5所示，这个大立方体的每一个面的电通电都相等，且均等于6εq ，对原立方体而言，每个面的面积为大立方体一个面的面积的1/4，则每个面的电通量也为大立方体一个面的电通量的1/4，即此时通过立方体每一面的电通量为0111d 4624S qε⋅⋅=⎰⎰E S 。

9-4 如图9-6所示，在场强为E 的匀强静电场中，A ，B 两点距离为d ，AB 连线方向与E 方向一致，从A 点经任意路径到B 点的场强线积分l E d ⎰⋅AB = 。

解：电场强度E 沿闭合路径ACBD 的环流为零，即有0d d d =⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰l E l E l E BDA ACBACBD因此Ed Ed d d BDA ACB=--=⋅-=⋅⎰⎰)(l E l E9-5 如9-7图，在点电荷q 的电场中，选取以q 为中心、R 为半径的球面上一点A 处为电势零点，则离点电荷q 为r 的B 处的电势为 。

解：以点电荷q 为中心，作半径为r 的球面为高斯面，利用高斯定理01d inSq ε⋅=∑⎰E S ，有2π4εqr E =图9-6d 图9-4qLqL图9-5q2LB C D EFA2L2LGH图9-7得电场强度大小为20π4rq E ε=则B 处的电势为)11(π4d π4d d 020Rr q r r q r E V V R rRrA BAB -===+⋅=⎰⎰⎰εεl E 9-6 真空中有两无限大的均匀带电平面A ，B ，电荷面密度分别为+σ，-σ，如图9-8所示。

若在两平面的中间插入另一面电荷密度为+σ的无限大平面C 后，P 点场强的大小将为[ ]。

A ．原来的1/2B ．不变C ．原来的2倍D ．零 解：每块无限大均匀带电平面均在空间产生均匀电场，2εσ=P E 。

当只有A 和B 两个带电平面时，因A ，B 面在P 点产生的场强大小、方向均相同，根据场强叠加原理，0022εσεσ==P E ，方向水平向右。

当在A ，B 面间插入C 板后，A ，C 两带电平面在P 点产生的场强相抵消。

于是P 点场强就等于平面B 产生的场强，变为02εσ=P E ，因此，A ，B 面间插入C 板后，P 点场强大小变为原来的1/2，且方向不变。

故应选（A ）。

9-7 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是[ ]。

A ．如高斯面上E 处处为零，则该面内必无电荷 B ．如高斯面内无电荷，则高斯面上E 处处为零 C ．如高斯面上E 处处不为零，则高斯面内必有电荷 D ．如高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电通量必不为零 E ．高斯定理对变化电场不适用解：高斯面上E 处处为零，则只能肯定面内电荷的代数和为零，不能肯定面内一不定无电荷；如高斯面内无电荷，只能说明穿过高斯面的E 通量为零，即d 0S⋅=⎰⎰E S ，而一个函数的面积分为零，不能说这个函数一定为零；如高斯面上E 处处不为零，但有可能穿过高斯面的总通量为零，如作一个高斯面包围一个电偶极子，则在高斯面上的场强处处不为零，但面内电荷的代数和为零；高斯定理不仅适用于恒定的场，也适用于变化的场。

由此可见（A ）、（B ）、（C ）和（E ）项都是错误的。

根据高斯定理01d in Sq ε⋅=∑⎰⎰E S 可知（D ）项是正确的，故应选（D ）。

*9-8以下说法中正确的是[ ]。

A ．电场强度相等的地方电势一定相等B ．电势变化率绝对值大的地方场强的绝对值也一定大C ．带正电的导体上电势一定为正D ．电势为零的导体一定不带电解：电场强度与电势是描述电场的两个不同物理量，电场强度为零表示试验电荷在该点图9-8所受的电场力为零，电势为零的点表示将试验电荷从该点移到参考零电势点时，电场力做功为零，因此电场强度相等的地方电势不一定相等。

电势是一个相对量，某物体电势的高低与电势零点的选择有关，因此带正电的导体上电势不一定为正，电势为零的导体也不一定不带电，如无限长均匀带电圆柱，我们可选圆柱面上一点为电势零点。

由电场强度与电势变化率的关系；lVE l d d -=，可知（B ）是正确的，故应选（B ）。

9-9 电量Q 均匀分布在半径为R 的球面上，坐标原点位于球心处，现从球面与x 轴交点处挖去面元∆S ， 并把它移至无穷远处（如图9-9所示），若选无穷远为零电势参考点，且将∆S 移走后球面上的电荷分布不变，则此球心O 点的场强E 0与电势U 0分别为（注：i 为单位矢量）[ ]。

A ．220(4π)i Q S R ε∆-，20(1)4π4πQ SR Rε∆-B ．220(4π)i Q S R ε∆，20(1)4π4πQ SR R ε∆-C ．220(4π)i Q S R ε∆，20(1)4π4πQ S R R ε∆--D ．220(4π)i Q S R ε∆-，20(1)4π4πQ S R Rε∆--解：球面上被挖去面元∆S ，根据场强叠加原理，则球心O 处的场强等于带正电的闭合球面和带负电的面元∆S 在该点产生的场强的叠加。

均匀带电闭合圆在在圆心处产生的合场强为零，由于面元∆S 很小，可将其视为带电为22π44RS Q S RQ S q ∆=∆=∆='σ的点电荷，它在圆心处产生的场强为222004π(4π)q Q S E RR εε'∆'==方向由圆心指向面元∆S 。

球心O 处的电势等于带正电的闭合球面在该处的电势RQ0π4ε和带负电的面元∆S 在该点产生的电势23004π16πS Q SR Rσεε∆∆-=-的叠加，因此02000(1)4π4π4π4πQ S Q SV R R R Rσεεε∆∆=-=-故选（B ）。

9-10 点电荷-q 位于圆心处，A ，B ，C ，D 位于同一圆周上，如图9-10。

分别求将一试验电荷q 0从A 点移到B ，C ，D 各点，则电场力做功是[ ]。

A ．A 到B 电场力做功最大 B ．A 到C 电场力做功最大 C ．A 到D 电场力做功最大 D ．电场力做功一样大AB图9–10图9-9解：本题是等势面特点的应用。

点电荷q -的电场中，等势面是以q -为中心的一同心球面，因为A ，B ，C ，D 在同一圆周上，故0=∆=∆=∆AD AC AB V V V 。

将试验电荷q 0从A 点移到B ，C ，D 各点时，电场力不做功，为零。

故应选（D ）。

9–11 如图9-11所示，真空中边长为a 的正方形的四个角，分别放置点电荷q ，2q ，-3q ，2q （q >0），它的正中放着一个正电荷q 0，求这个电荷受力的大小和方向。

解：各点电荷在正方形中心产生的电场方向如图9-12所示，两个2q 的点电荷对q 0的作用力相抵消，q 0所受合力即点电荷q ，-3q 对它的库仑力的合力，其大小为：000022220000324π4πππqq qq qq qq F rrraεεεε=+==合力的方向：指向点电荷-3q 。

9–12 如图9-13所示，一均匀带电直线长为L ，线电荷密度为λ。

求下列各处的电场强度E ：（1）带电直线的延长线上离中心O （直导线中点）为r 处的场强;（2）带电直线的垂直平分线上离中心O 为r 处的场强;（3）离带电直线的一端A 点垂直距离为r 处的场强。

解：本题是计算连续分布电荷的产生电场强度，此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒看作点电荷。

可在直导线上选出电荷元，利用点电荷d q 的电场强度公式求出场强。

（1）对于P 1点，建立如图9-14所示的坐标系。

在带电直线上任取一线元d x ，电荷元d q =λd x 在P 1点的场强为20d d 4π()xE r x λε=-电场的方向沿x 轴正向。

由于各电荷元在P 1点产生的场强方向相同，于是整个带电直线在P 1点的场强为q 2q-3q aa a 2q a q 0F 4 F 2 F 1F 3图9–12 -3q2q q 2q aaa a q 0 图9-11 图9-13P 3AL P 2P 1rrrB图9-14d x AOL xP 1 d Exr B22222000d 11d 4π224π()π(4)L L xLE E r L r Lr x r L λλλεεε-⎛⎫===-=⎪-+--⎝⎭⎰⎰ 场强方向沿x 轴正向。

（2）对于P 2点，建立如图9-15所示的坐标系。

若点P 2在带电直线的垂直平分线上，因对称性，场强d E 沿x 轴方向的分量叠加为零，即0=x E ，因此，P 2点的场强方向沿y 轴，电荷元d q =λd x 在P 2点产生的场强大小为20d d 4πxE rλε='d E 的y 分量为0d d d sin sin 4πy xE E r λααε=='由几何关系csc r r α'=，cot x r α=，则ααd csc d 2r x -=，于是rE y 0π4d sin d εααλ-=)cos (cos π4π4d sin d 120021ααελεααλαα-=-==⎰rr E E y y由于12παα=-，因此12cos cos αα=-=，代入上式y E E ===y E E ===因此，带电直线在垂直平分线上P 2，方向沿y 轴正方向。