ii jj
ijij
1 2
I12 ijij
x xy zx I3 xy y yz eijk1i2j3k
zx yz z xyz 2xyyzzx xy2z yz2x zx2y
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
3I1 2I2 I30
求解应力状态的特征方程，可以得到三个实根：
1，2，3，即为该点的三个主应力。
➢定义式
面力：
X lim P S0 S
Xi
lim Pi S0 S
P
S
Chapter 3.1
外力、内力与应力
内力
物体内部各个部分之间将产生相互作用，这种物体一 部分与相邻部分之间的作用力，称为内力。 内力也是分布力，它起着平衡外力和传递外力的作用， 是变形体力学研究的重要对象之一。应力的概念正是 为了精确描述内力而引进的。
斜截面的面元矢量为：
d S d S 1 e 1 d S 2 e 2 d S 3 e 3
Chapter 3.2
柯西公式
四面体的体积为：
V13dhdS
dh为顶点 O 到斜面 的垂直距离
x1
x3
图2-4
( ) ( )3
x2
( )2
()1
Chapter 3.2
柯西公式
x3
四面体上作用力的平衡条件是：
主应力的性质
3I1 2I2 I30
➢ 不变性 由于特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征 根的主应力及相应主方向都是不变量。
1,2,3
1,2,3
➢ 实数性 即特征方程的根永远是实数。
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢ 极值性
主应力1和3是一点正应力的最大值和最小值。
在主坐标系中，任意斜截面上正应力的表达式：
32
即：
(i) ijej
31
e3 11
13 12
e2 e1
23 22
21 x2
x1
Chapter 3.1
外力、内力与应力
(1) 11e112e213e3 1jej (2) 21e122e223e3 2jej (3) 31e132e233e3 3jej
共出现九个应力分量：
11 12 13
(ij ) 21
22
23
31 32 33
Chapter 3.1
外力、内力与应力
11 12 13
(ij ) 面元的法线方向，称面元指标；第 二指标j表示应力的分解方向，称方向指标。
当i＝j时，应力分量垂直于面元，称为正应力。当 i≠j 时，应力分量作用在面元平面内，称为剪应力。
面力
即作用在物体表面上的力，例如作用在飞机机翼 上的空气动力、水坝所受的水压力等。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
➢定义式
体力： f lim F V0 V
fi
lim Fi V0 V
V F
f1
lim
V0
F1 V
f2
lim
V0
F2 V
f3
lim
V0
F3 V
Chapter 3.1
外力、内力与应力
外力、内力与应力
应力矢量和 面力矢量的数
i ( )
lim
S 0
Fi S
学定义和物理量纲都相同。
Xi
lim Pi S 0 S
区别在于：应力是作用在物体内界面上的未知内力， 而面力是作用在物体外表面的已知外力。当内截面无 限趋近于外表面时，应力也趋近于外加面力之值。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
Chapter 3.2
柯西公式
()g (e11jeje2 2jeje3 3jej) g (ijeiej)
根据商判则，知 ij e i e j 必是一个二阶张量，于是定义
应力张量
ijeiej
Chapter 3.2
柯西公式
()g (ije iej)g
这就是著名的柯西公式，又称斜面应力公式。
()1 ;
cos (),e2
()2
cos (),e3
()3
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面正应力
n ( )g = g g = iji j
斜面剪应力
() n
2 n2
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－给定应力边界条件
若斜面是物体的边界面，则柯西公式可用作未知应 力场的力边界条件：
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的大小
()
22 2
()1
()2
()3
1/2
1/2
()i ()i
k ki l li
Chapter 3.2
柯西公式
➢ 柯西公式应用－计算斜截面上的应力
斜面上应力的方向
n
( )
即
cos (),e1
X xl xym zxn Y yxl ym zyn Z xzl yzm zn
写成指标符号
pj iij
其中pj是面力p沿坐标轴方向的分量，通常记为 X , Y , Z
Chapter 3.2
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
pnx xl xymxzn
pnx l
pny xyl ymyzn (1) p n y m ( 2 )
pnz xzl yzmzn
pnz n
由(1)和(2)式得：
x l xymxzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzmz n 0
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
n= g g = ijij
=11 222 233 2
= 1 (1 2 )2 2 (2 3 )3 2 1 = (1 3 )1 2 (2 3 )2 2 3 3
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
➢正交性 • 特征方程无重根时，三个主应力必两两正交； • 特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作 用平面内呈现双向等拉(或等压)状态，可在面内任 选两个相互正交的方向作为主方向； • 特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交 的方向都可作为主方向。
Chapter 3.1
应力理论
外力、内力与应力 柯西公式 主应力与应力不变量 最大剪应力，八面体剪应力 平衡微分方程
Chapter 3
柯西公式
斜截面上的应力
四面体OABC，由三个负 面和一个法向矢量为
1 e 12 e 23 e 3ie i
的斜截面组成，其中
i c o s(,e i)g e i x 1
pnx xl yxm zxn pny xyl ym zyn pnz xzl yzm zn
由剪应力互等定理可得：
pnx xl xym xzn pny xyl ym yzn pnz xzl yzm zn
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
x l xymxzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzmz n 0
由于l2m2n21，所以要有非零解，则上述三
个方程必须是线性相关的，亦即系数行列式为零：
x xy xz
xy y
yz
xz yz 0 z
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
展开行列式得到应力状态 的特征方程：
zy xx
y x
xz
xy
yz
xz
yy
yy z yz
xy
yx
xx
o
y
zy
zx
zz
x
应力分量的正负号规定
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zy
zx
yz
xz
yy
z xx
xy yx
o
y
x
应力分量的个数
Chapter 3.1
外力、内力与应力
x3
33
为方向的方向余弦。
x3
x2
Chapter 3.2
柯西公式
斜截面上的应力 x3
11
2 1
12
22
13
x1
23
32
31 33
( ) ?
x2
Chapter 3.2
柯西公式
ABC的面积为dS, 则三个负面的面积分别为
dS1OBC1dS(ge1)dS dS2 OCA2dS(ge2)dS dS3 OAB3dS(ge3)dS
正六面体微元: 外法线与
坐标轴同向的三个面称
为正面，记为dSi，它们
的单位法向矢量为i＝ei， z
ei是沿坐标轴的单位矢量； o
y
另三个外法线与坐标轴
x
反向的面元称为负面。
Chapter 3.1
外力、内力与应力
( )
yz
yy
z
yx
o
y
x
Chapter 3.1
外力、内力与应力
zz zx
Chapter 3.3
主应力 & 应力不变量
若将一个根代入如下方程组：
x l xym xzn 0
xyl y m yzn 0
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
可以顺次求出相应于1，2和3的三个主方向：
l 1 ,m 1 ,n 1 , l 2 ,m 2 ,n 2 , l 3 ,m 3 ,n 3
Chapter 3.1